Sabendo-se que a raiz quadrada do número complexo -16+30i é (a+bi) ou (c+di), pode-se afirmar que o valor de a+d é: a) +2 b) +1 c) 0 d) -1 e) -2

Para encontrar a raiz quadrada do número complexo \(-16 + 30i\), podemos usar a forma \(z = a + bi\) e igualar \(z^2\) a \(-16 + 30i\). 1. Expandindo \(z^2\): \[ (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + (2ab)i \] 2. Igualando as partes real e imaginária: \[ a^2 - b^2 = -16 \quad (1) \] \[ 2ab = 30 \quad (2) \] 3. Da equação (2), podemos expressar \(b\) em termos de \(a\): \[ b = \frac{30}{2a} = \frac{15}{a} \] 4. Substituindo \(b\) na equação (1): \[ a^2 - \left(\frac{15}{a}\right)^2 = -16 \] \[ a^2 - \frac{225}{a^2} = -16 \] Multiplicando por \(a^2\) para eliminar a fração: \[ a^4 + 16a^2 - 225 = 0 \] Seja \(x = a^2\): \[ x^2 + 16x - 225 = 0 \] 5. Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 + 4 \cdot 225}}{2} \] \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 900}}{2} \] \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{1156}}{2} \] \[ x = \frac{-16 \pm 34}{2} \] As soluções são: \[ x_1 = 9 \quad (a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \text{ ou } -3) \] \[ x_2 = -25 \quad (não é válido para a^2) \] 6. Para \(a = 3\): \[ b = \frac{15}{3} = 5 \] Para \(a = -3\): \[ b = \frac{15}{-3} = -5 \] 7. Portanto, as raízes quadradas são \(3 + 5i\) e \(-3 - 5i\). Agora, somando \(a + d\): - Para \(3 + 5i\), \(a = 3\) e \(d = -5\) (da segunda raiz). - Para \(-3 - 5i\), \(a = -3\) e \(d = 5\). Em ambos os casos, \(a + d = 3 - 5 = -2\) ou \(-3 + 5 = 2\). A única soma que se encaixa nas opções é: \[ a + d = -2 \] Portanto, a resposta correta é: e) -2.