Para resolver a equação \(|z| + z = 1 + 3i\), vamos considerar \(z\) como um número complexo na forma \(z = x + yi\), onde \(x\) e \(y\) são números reais. 1. O módulo de \(z\) é dado por \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\). 2. Substituindo na equação, temos: \[ \sqrt{x^2 + y^2} + (x + yi) = 1 + 3i \] 3. Separando as partes real e imaginária, obtemos: - Parte real: \(\sqrt{x^2 + y^2} + x = 1\) - Parte imaginária: \(y = 3\) 4. Substituindo \(y = 3\) na parte real: \[ \sqrt{x^2 + 3^2} + x = 1 \implies \sqrt{x^2 + 9} + x = 1 \] 5. Isolando a raiz: \[ \sqrt{x^2 + 9} = 1 - x \] 6. Elevando ao quadrado: \[ x^2 + 9 = (1 - x)^2 \implies x^2 + 9 = 1 - 2x + x^2 \] 7. Simplificando: \[ 9 = 1 - 2x \implies 2x = -8 \implies x = -4 \] Agora temos \(z = -4 + 3i\). 8. Calculando o módulo de \(z\): \[ |z| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Portanto, a solução da equação \(|z| + z = 1 + 3i\) é um número complexo de módulo 5. A alternativa correta é: b) 5.