07 - Complexos

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3 
 
 
FORMA ALGÉBRICA 
 
z x y.i  
 x e y 
 
 
    

   
x : parte real Re z
y : parte imaginária Im z
 
i 1  : unidade imaginária 
 
Notas: 
 Número complexo: 
 real    Im z 0 
 
 imaginário puro  
 
 


Re z 0
Im z 0
 
 imaginário  
 
 


Re z 0
Im z 0
 
 
POTÊNCIAS DE i 
0
1
2
3
4
i 1
i i
i 1
i i
i 1


 
 
 
n ri i
Onde r é o resto da divisão de n por 4

 
 
IDENTIDADE 
1 1 1 1 2
1 2
2 2 2 1 2
z x y .i x x
z z
z x y .i y y
   
   
   
 
 
PLANO DE ARGAND-GAUSS 
 
: argumento principal 
 
MÓDULO DE Z 
 
2 2z x y  
 
4
 
FORMA TRIGONOMÉTRICA 
 
 z z cos i.sen   
ou 
z z cis  
 
FORMA EXPONENCIAL 
 
iz z e  
 
CONJUGADO DE UM COMPLEXO 
 
z x y.i   z x y.i  
 
PROPRIDADES DE MÓDULO 
o z z 
o z.w z . w 
o 
zz
w w
 
 
PROPRIDADES DE CONJUGADO 
 
o  z z 2Re z  
o 
2
z.z z 
o 
1 2 1 2z z z z   
o 
1 2 1 2z z z z   
 
POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS 
 
nnz z cisn  n 
 
RADICIAÇÃO DE COMPLEXOS 
 
n n
2k
z z cis
n
   
  
 
k

 
 
Nota: 
Os n afixos da n z pertencem a uma mesma circunferência de centro (0,0) e raio R = n z . 
Sendo que para n > 2 os afixos correspondem aos vértices de um polígono regular inscrito 
nessa circunferência. 
 
o 
nnz z 
o z w z w  
 
 
o 1 1
2 2
z z
z z
 
 
 
 
o 
1 2 1 2z .z z .z 
o  
nnz z 
 
 
5 
 
Testes de fixação 
 
01. (EFOMM) Sabendo-se que a raiz quadrada do número complexo  16 30i é  a bi ou 
 c di , pode-se afirmar que o valor de a d é: 
a) 2 
b) 1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
02. (EFOMM) Se os números reais x e y são soluções da equação 
 
   
  
2
1 i 1
1 i
1 i x iy
, então 
5x 15y é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 1 
d) 2 
e)  2 
 
03. (EFOMM) A solução da equação   z z 1 3i é um número complexo de módulo: 
a) 5 / 4 
b) 5 
c) 5 
d) 5 / 2 
e) 5 / 2 
 
04. (EFOMM) Sejam os números complexos z tais que  
1
z z 1
3
. O lugar geométrico das 
imagens desses números complexos é uma 
a) parábola 
b) reta 
c) circunferência de raio 3/8 
d) circunferência de raio 3/2 
e) hipérbole 
 
05. (EFOMM) Considere o conjunto dos números complexos z com a propriedade 
 z 169i 65 , admitindo que i é a unidade imaginária. O elemento desse conjunto que possui o 
maior argumento ,    0 2 , é igual a 
a) 60 144i 
b) 65 169i 
c) 104i 
d)  65 169i 
e) 65 156i 
 
 
 
 
 
6
 
06. (EFOMM) Qual o menor valor do número natural positivo n para que  
n
3 i , onde i é a 
unidade imaginária, seja um número real? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
07. (EFOMM) É bem conhecida a relação 
  
 
i ie e
cos
2
, onde  é um ângulo em radiano e 
 i 1. Dada a relação podemos concluir que se  é um imaginário puro da forma bi onde 
b , cos é um número 
a) entre -1 e 1 
b) maior que -1 e menor que 0 
c) maior que 1 
d) igual a 1 
e) imaginário puro 
 
08. (EFOMM) O argumento do número complexo  
1 1
i
2 2
 é 
a) 45o 
b) 60o 
c) 90o 
d) 135o 
e) 225o 
 
09. (EFOMM) O inverso do complexo 2i é 
a) 
1
i
2
 
b) 
1
i
2
 
c) i/2 
d) – i/2 
e) – 2 
 
10. (EFOMM) Qual o valor de e, que é um escalar real, em que a parte imaginária no número 


2 i
e 2i
 é nula? 
a) -4 
b) -2 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
 
11. (EFOMM) Determine o valor de x para que o produto        12 2i 18 x 2 i seja um núme-
ro real. 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 7 
 
7 
 
12. (EFOMM) Dado o número complexo z = 1 - i e considerando ser ele uma das raízes da 
equação  10x p 0 , o valor de p é: 
a) 8i b) – 4i c) – 8i 
d) – 16i e) – 32i 
 
13. (EFOMM) O quociente de 
31 110
13
i i
i
 é: 
a) -1 - i b) 1 - i c) -1 + i 
d) e) i 
 
14. (EFOMM) Sabendo-se que   
4
1z 1 2i e   
3
2z 2 2i , o resultado 1 2z z é: 
a) 5 + 22i b) 15 + 22i c) 3 + 24i 
d) 13 - 24i e) 9 + 8i 
 
15. (EFOMM) O quociente de A por B, sendo  A 2 3i e         B 2 cos 2 / 3 isen 2 / 3 é: 
a) 4 - 2i 
b) 
3 4
i
2 5
 
c) 5 3i 
d)  
1 5 3
i
4 4
 
e)  
5 3
i
4 4
 
 
16. (EFOMM) O valor de  
7
3 i é igual a: 
a)  64 3 64i 
b) 128 64i 
c) 64 3 64i 
d)  8 3 8i 
e)  128 3 128i 
 
17. (EFOMM) Sabendo-se que 
 

 
26 14 23
15 4 124
i 3i 5i
z
4i i i
, então, podemos afirmar que o dobro de 

z
1 i
 
vale: 
a) 
3 7
i
4 4
 
b) 
1 3
i
4 4
 
c) 
2 1
i
3 3
 
d) 
3 7
i
8 8
 
e) 
7
1 i
4
 
 
8
 
18. (EFOMM) Escrevendo-se na forma trigonométrica o complexo 


3 3i
z
2i
, encontra-se: 
a)      cos 7 / 6 isen 7 / 6 
b)        3 cos 7 / 6 isen 7 / 6 
c)      cos / 6 isen / 6 
d)        3 cos / 6 isen / 6 
e)        3 cos 4 / 3 isen 4 / 3 
 
19. (EFOMM) A solução da equação   2z 8 8 3i são: 
a) 2 2 3i e 2 2 3i 
b)  2 2 3i e  2 2 3i 
c) 2 3i e  2 3i 
d) 2 2 3i e  2 2 3i 
e) 2 3i e  2 3i 
 
20. (EFOMM) O módulo do número complexo z, tal que    iz 2z 3 i 0 é: 
a) 
26
3
 
b) 
13
2
3
 
c) 
2 13
9
 
d) 
13
3
 
e) 
26
3
 
21. (EFOMM) Reduzindo o complexo 
     
 
     
1 m i 1 m 1 m i 1 m
z
1 m i 1 m 1 m i 1 m
 a uma forma sim-
ples teremos: 
a) z i b)  z 1 mi c) z 2m 
d)  z 1 mi e)  z 2mi 
 
22. (EFOMM) O valor da equação 
       11 12 13 101 103i i i i i é: 
a) 1 
b) 
1
i
 
c) i 
d) 2i e) 2i 
 
23. (EFOMM) Sendo z cos isen   , a expressão que melhor representa n nz z é: 
a)  cos n b)  2isen n c)  2isen n  
d)  2cos n e)  2sen n 
 
 
9 
 
24. (EFOMM) Considere o número complexo 1z 1 , tal que 1z seja solução da equação 6z 1 , 
com menor argumento positivo. A solução 2z da mesma equação, cujo argumento é o triplo do 
argumento de 1z , é igual a: 
a) 
1 3
i
2 2
 
b) 
1 3
i
2 2
  
c) 1 
d) 
1 3
i
2 2
  
e) 
1 3
i
2 2
 
 
25. (EFOMM) O número complexo,  z z cos isen   , sendo i a unidade imaginária e 
0 2    , que satisfaz a inequação z 3i 2  e que possui o menor argumento  , é: 
a) 
5 2 5
z i
3 3
   
b) 
5 2 5
z i
3 3
   
c) 
2 5 5
z i
3 3
   
d) 
2 5 5
z i
3 3
   
e) z 2 5 5i   
 
26. (EFOMM) Seja o número complexo z 1 3i   , onde i é a unidade imaginária. O valor de 
8z é: 
a) 
4 4
z 256 cos isen
3 3
  
  
 
 
b) z 256 cos isen
3 3
  
  
 
 
c) 
5 5
z 256 cos isen
3 3
  
  
 
 
d) 
2 2
z 256 cos isen
3 3
  
  
 
 
e)  z 256 cos2 isen2   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10
 
GABARITO 
 
01. a/e 02. b 03. b 04. c 05. a 06. e 07. c 08. e 09. d 10. e 11. b 12. e13. a 14. e 15. e 16. a 17. a 18. e 19. d 20. e 21. c 22. a 23. b 24. c 
25. c 26. d