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Quando aplicamos o processo de derivação em uma função e obtemos outra função derivável, é possível repetir esta ação, sucessivas vezes, e obter a segunda, a terceira, a quarta derivadas da função de origem, e assim por diante.

Considerando o conceito apresentado e o conteúdo estudado na unidade, analise as afirmativas a seguir acerca das derivadas sucessivas da função:

$$f(x) = -8x^4 - 5x^3 + 100x$$

I. A segunda derivada é uma função polinomial de grau 3.
II. A quarta derivada é igual a $$f(x) = -192x$$.
III. A quinta derivada é igual a zero.
IV. A primeira derivada possui três termos diferentes de zero.

Está correto apenas o que se afirma em:
I e IV.
II, III e IV.
I e II.
III e IV.
II e III.

Estudo Através de Questões

há 12 meses

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Ed

há 12 meses

Vamos analisar cada afirmativa sobre a função \( f(x) = -8x^4 - 5x^3 + 100x \): 1. Primeira derivada: \[ f'(x) = -32x^3 - 15x^2 + 100 \] 2. Segunda derivada: \[ f''(x) = -96x^2 - 30x \] - Esta é uma função polinomial de grau 2, não 3. Portanto, a afirmativa I é falsa. 3. Terceira derivada: \[ f'''(x) = -192x - 30 \] 4. Quarta derivada: \[ f^{(4)}(x) = -192 \] - Portanto, a afirmativa II, que diz que a quarta derivada é igual a \( f(x) = -192x \), é falsa. A quarta derivada é uma constante, -192. 5. Quinta derivada: \[ f^{(5)}(x) = 0 \] - Portanto, a afirmativa III é verdadeira. 6. Analisando a primeira derivada: - A primeira derivada \( f'(x) = -32x^3 - 15x^2 + 100 \) possui três termos diferentes de zero, então a afirmativa IV é verdadeira. Agora, vamos resumir: - I: Falsa - II: Falsa - III: Verdadeira - IV: Verdadeira Portanto, a alternativa correta que contém todas as afirmativas verdadeiras é: III e IV.

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Uma calha deve ser feita a partir de uma folha metálica retangular de 30 cm de largura, dobrando-se as bordas da folha. O número de centímetros dobrados de cada lado é x. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas de otimização, para que a calha tenha a capacidade máxima, pode-se afirmar que é necessário dobrar:
(A) 4 cm de cada lado da folha.
(B) 10 cm de cada lado da folha.
(C) 7,5 cm de cada lado da folha.
(D) 5 cm de cada lado da folha.
(E) 12 cm de cada lado da folha.

Considerando que o teste da primeira derivada determinou os pontos críticos de uma função $f(x)$, foi realizado o teste da segunda para determinar se os pontos críticos são pontos onde existe um mínimo ou um máximo relativo. Considerando uma possível conclusão para o teste da segunda derivada, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. O ponto crítico $x=c$ é um ponto onde há um mínimo relativo da função.

Porque:
II. A segunda derivada de $f(x)$ em $x=c$ é maior que zero.

A seguir, assinale a alternativa correta:
(A) As asserções I e II são proposições falsas.
(B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
(C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
(D) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
(E) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

Segundo o Teorema do Valor Médio, dada uma função $f(x)$ contínua em um intervalo $[a, b]$ e derivável no intervalo aberto $(a, b)$ então existe um valor $c$ neste intervalo tal que $f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)}$. Considerando essas informações, pode-se afirmar que o valor de c que satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio para a função $f(x)=3 x^{2}+2 x+5$ contínua no intervalo $-1,1$ é:
(A) -1.
(B) 0.
(C) -2.
(D) 2.
(E) 3.

Uma bola é lançada verticalmente para cima, e a sua altura em metros, após segundos, é dada pela função $f(t) = 4 + 48t - 16t^2$. Deseja-se, então, descobrir quanto tempo decorre desde o lançamento da bola até o momento em que ela atinge sua altura máxima. Considerando essas informações e os conceitos envolvidos na resolução de problemas de otimização, analise as asserções abaixo e a relação proposta entre elas:
I. Para determinar quanto tempo leva para a bola alcançar a altura máxima, é necessário determinar a primeira derivada da função $f(t)$.

Porque:
II. No instante em que a altura é máxima, a derivada da função $f(t)$ é igual a zero.

A seguir, assinale a alternativa correta:
(A) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
(B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
(C) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
(D) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
(E) As asserções I e II são proposições falsas.

Considerando a função $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9$, pode-se afirmar que o(s) intervalo(s) em que a função $f(x)$ é crescente:
(A) é o (−∞, 0).
(B) é o (0, 2).
(C) nenhum; a função é decrescente no intervalo do seu domínio.
(D) é o (2, +∞).
(E) são os intervalos (−∞, 0) e (2, +∞).

Para definir qual o preço a ser praticado que maximiza a receita das vendas, uma empresa resolveu analisar a função receita $R(p)=30 p-3 p^{2}$, dada em reais. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas de otimização, pode-se afirmar que o melhor preço a ser praticado é:
(A) R$ 7,00 por unidade.
(B) R$ 3,00 por unidade.
(C) R$ 5,00 por unidade.
(D) R$ 4,00 por unidade.
(E) R$ 6,00 por unidade.

Considerando a definição de assíntota vertical de uma função e o conteúdo estudado sobre o comportamento de uma função, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. Uma reta $x=a$ pode ser uma assíntota vertical de uma função.

Porque:
II. $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=a$

A seguir, assinale a alternativa correta:
(A) As asserções I e II são proposições verdadeiras.
(B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
(C) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
(D) As asserções I e II são proposições falsas.
(E) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

O teste da segunda derivada permite uma análise dos pontos críticos de uma função que foram determinados pelo teste da primeira derivada. A derivada de uma certa função é $f'(x) = x^2 + 4x + 3$ e, igualando a derivada a zero, descobrimos que $x = -1$ e $x = -3$ são pontos críticos dessa função. Considerando essas informações e o valor da segunda derivada no ponto $x = -3$, pode-se afirmar que, nesse ponto, existe um
(A) máximo relativo de f, pois $f'(-3) = 0$.
(B) máximo relativo de f, pois $f'(-3) = -8$.
(C) mínimo relativo de f, pois $f^{\prime \prime}(-3)=2$.
(D) máximo relativo de f, pois $f^{\prime \prime}(-3)=-2$.
(E) mínimo relativo de f, pois $f^{\prime \prime}(-3)=8$.