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Considerando as funções f(x)=x²+\frac{x}{2}+3 e g(x)=x²-3 e com base nos seus conhecimentos acerca de funções compostas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em x=1/2 é igual a 3/2.
II. ( ) O gráfico de 3.f(x) é alongado verticalmente em relação ao gráfico de f(x).
III. ( ) A derivada de c.g(x), onde c é constante, é igual a cx².
IV. ( ) f(g(x)) possui derivada igual a f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
A) V, V, V, F.
B) F, F, F, V.
C) V, V, F, F.
D) V, V, V, F.
E) V, F, F, V.

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Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre as funções dadas: I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em x=1/2 é igual a 3/2. Para encontrar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada de f(x) e avaliá-la em x = 1/2. A derivada de f(x) = x² + (x/2) + 3 é f'(x) = 2x + 1/2. Substituindo x = 1/2: f'(1/2) = 2*(1/2) + 1/2 = 1 + 1/2 = 3/2. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). II. ( ) O gráfico de 3.f(x) é alongado verticalmente em relação ao gráfico de f(x). Multiplicar uma função por uma constante (neste caso, 3) resulta em um alongamento vertical se a constante for maior que 1. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). III. ( ) A derivada de c.g(x), onde c é constante, é igual a cx². A derivada de g(x) = x² - 3 é g'(x) = 2x. Portanto, a derivada de c.g(x) é c.g'(x) = c*(2x), e não cx². Essa afirmativa é falsa (F). IV. ( ) f(g(x)) possui derivada igual a f′(x)g(x) + f(x)g′(x). Essa afirmativa está incorreta. A regra da cadeia nos diz que a derivada de f(g(x)) é f'(g(x)) * g'(x). Portanto, essa afirmativa é falsa (F). Agora, organizando as respostas: I - V II - V III - F IV - F A sequência correta é: C) V, V, F, F.

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De acordo com as definições e propriedades do cálculo da derivada pelo limite e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A derivada de uma função sempre é calculável em um ponto no qual os limites laterais coincidirem.
II. ( ) A função f(x)=tg x é diferenciável para qualquer valor real de x.
III. ( ) A derivada da função g(x)=3x³+3x²+x, no ponto onde x=a, é g′(a)=(3a+1)².
IV. ( ) Um objeto disparado ao ar tem altura dada por y=10t-5t². Assim sua velocidade quando t=2 é de -10 m/s.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
A) F, F, V, F.
B) V, F, F, V.
C) F, V, F, V.
D) F, F, V, V.
E) V, V, F, F.

Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir:
I. Essa regra considera funções racionais.
II. Essa regra não considera funções algébricas.
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa função é igual a zero.
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida por [f(x)/g(x)]′=[f′(x)g(x)-f(x)g′(x)]/[g(x)]².
Está correto apenas o que se afirma em:
A) III e IV.
B) I e III.
C) I e II.
D) II e IV.
E) I e IV.

De acordo essas informações e com seus conhecimentos de derivação, analise as afirmativas a seguir.
I. A função que descreve a velocidade dessa partícula é dada por v(t)=8cos(8t)+1.
II. É impossível determinar a derivada da velocidade.
III. A função que descreve a aceleração dessa partícula é a(t)=-64sen(8t).
IV. A função velocidade é uma função polinomial.
Está correto apenas o que se afirma em:
A) II e IV.
B) I, II, III.
C) I, II e IV.
D) II e III.
E) I e III.

Considerando a relevância dessas informações e dos seus conhecimentos sobre o significado das taxas de variação e sua relação com o estudo do Cálculo, analise as afirmativas a seguir.
I. O limite de \frac{[f(a+h)-f(a)]}{h}, quando x \geq h, é conhecido como a derivada da função f em x=a, caso a função seja diferenciável nesse ponto.
II. Encontrando a derivada da função em um ponto P(a, f(a)), para encontrar uma equação da reta tangente é possível substituir as coordenadas dos pontos e o valor da derivada na equação da reta, que pode ser escrita como y=f(a)=f′(a)(x-a).
III. É impossível entender a derivada como uma função, pois ela é apenas uma taxa de variação da função no ponto que representa o ângulo de inclinação da reta tangente à função nesse mesmo ponto.
IV. A reta tangente a f(x), que passa pelo ponto P(a, f(a)), tem inclinação igual a f′(a), que é a derivada de f(x), onde x=a.
Está correto apenas o que se afirma em:
A) I, II e III.
B) I, II e IV.
C) II e IV.
D) I, e IV.
E) II e III.

Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca da Regra da Cadeia, faça as associações a seguir:
1) f(x)=cos(2x).
2) f(x)=3x²+1.
3) Regra da Cadeia.
4) f(x)=(x+1)².
() É útil na derivação de funções compostas.
() É uma função composta que pode ser derivada pela Regra da Cadeia, mas também pela regra do produto.
() É uma função composta que pode ser diferenciável pela Regra da Cadeia.
() Não é uma função composta, portanto, não há necessidade da aplicação da Regra da Cadeia.
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
A) 1, 2, 4, 3.
B) 3, 4, 2, 1.
C) 2, 1, 3, 4.
D) 3, 4, 1, 2.
E) 1, 3, 2, 4.

Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções diferenciáveis, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. No ponto onde x=0, a derivada da função f(x)=1/x² não pode ser calculada.
Porque:
II. A função f(x) não é definida onde x=0, pois a reta tangente a f(x) nesse ponto é vertical.
A seguir, assinale a alternativa correta:
A) As asserções I e II são proposições falsas.
B) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
E) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das trigonométricas inversas e suas derivadas, analise as afirmações a seguir:
I. Dada f′(x)=sen⁻¹x, tem se que f′′(x)=1/\sqrt{1-x²}.
II. sen⁻¹x \neq arcsen x.
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas.
IV. Dada f(x)=cos⁻¹x tem-se que f′′(x)=-1/\sqrt{1-x²}.
Está correto apenas o que se afirma em:
A) I e IV.
B) I e III.
C) II, III e IV.
D) II e III.
E) I e II.

Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca das derivadas hiperbólicas, é correto afirmar que a derivada da função f(x)=cosh \sqrt{x} é:
A) f′(x)=(senh \sqrt{x})/2.
B) f′(x)=(-senh \sqrt{x})/(2 \sqrt{x}).
C) f′(x)=(cosh \sqrt{x})/(2 \sqrt{x}).
D) f′(x)=(senh \sqrt{x})/(2 \sqrt{x}).
E) f′(x)=(senh \sqrt{x})/\sqrt{x}.