Qual função é solução da EDO 2y dx - xdy = 0? A) y = 2x B) y = 3x^2 C) y = 5x^2 D) y = 5x E) y = 3x

Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada, vamos reescrevê-la: \(2y \, dx - x \, dy = 0\) Podemos rearranjar isso para: \(\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}\) Agora, essa é uma EDO separável. Podemos separar as variáveis: \(\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x}\) Integrando ambos os lados, temos: \(\ln |y| = 2 \ln |x| + C\) Isso pode ser reescrito como: \(\ln |y| = \ln |x|^2 + C\) Elevando ambos os lados à base \(e\): \(|y| = e^C |x|^2\) Podemos substituir \(e^C\) por uma constante \(k\): \(y = kx^2\) Agora, precisamos verificar qual das alternativas corresponde a essa forma. Analisando as opções: A) \(y = 2x\) - Não é da forma \(kx^2\). B) \(y = 3x^2\) - Esta é da forma \(kx^2\) com \(k = 3\). C) \(y = 5x^2\) - Esta é da forma \(kx^2\) com \(k = 5\). D) \(y = 5x\) - Não é da forma \(kx^2\). E) \(y = 3x\) - Não é da forma \(kx^2\). Portanto, as funções que são soluções da EDO são \(y = 3x^2\) e \(y = 5x^2\). Como a pergunta pede uma única resposta, a alternativa correta que se encaixa é: B) \(y = 3x^2\).