Para resolver essa questão, precisamos aplicar as propriedades da Transformada Z e as fórmulas fornecidas. Vamos analisar as opções uma a uma, considerando a estrutura da função \(X(s)=\frac{s}{(\varepsilon+1)^{2}(\varepsilon+2)}\). 1. Identificação da função: A função \(X(s)\) pode ser decomposta em frações parciais, mas como estamos lidando com a Transformada Z, precisamos focar nas expressões dadas. 2. Análise das opções: - A Transformada Z de uma função do tipo \(\frac{1}{(\varepsilon + a)^n}\) é dada pela fórmula que você forneceu. Precisamos aplicar isso para cada parte da função \(X(s)\). 3. Verificação das alternativas: - A) \(\frac{1}{\left(1-e^{-T} Z^{-1}\right)^{2}}+\frac{2}{1-e^{-T} Z^{-1}}+\frac{2}{1-e^{-2 T} Z^{-1}}\) - Não parece se encaixar com a estrutura que estamos buscando. - B) \(-\frac{T e^{-T} Z^{-1}}{\left(1-e^{-2 T} Z^{-1}\right)^{2}}+\frac{1}{1-e^{-T} Z^{-1}}-\frac{2}{1-e^{-2 T} Z^{-1}}\) - Não se alinha com a estrutura esperada. - C) \(-\frac{T e^{-T} Z^{-1}}{\left(1-e^{-T} Z^{-1}\right)^{2}}+\frac{e^{-T} Z^{-1}}{1-e^{-T} Z^{-1}}-\frac{2}{1-e^{-2 T} Z^{-1}}\) - Essa opção parece ter uma combinação que pode ser válida. - D) \(\frac{T e^{-T} Z^{-1}}{\left(1-e^{-T} Z^{-1}\right)^{2}}+\frac{2}{1-e^{-T} Z^{-2}}+\frac{2}{1-e^{-2 T} Z^{-1}}\) - A presença de \(Z^{-2}\) não parece correta. - E) \(-\frac{T e^{-T} Z^{-1}}{\left(1-e^{-T} Z^{-1}\right)^{2}}+\frac{2}{1-e^{-T} Z^{-1}}-\frac{2}{1-e^{-2 T} Z^{-1}}\) - Essa opção também parece válida. Após analisar as opções, a que melhor se encaixa com a estrutura da Transformada Z e as propriedades que estamos utilizando é a opção C. Portanto, a resposta correta é: C) \(-\frac{T e^{-T} Z^{-1}}{\left(1-e^{-T} Z^{-1}\right)^{2}}+\frac{e^{-T} Z^{-1}}{1-e^{-T} Z^{-1}}-\frac{2}{1-e^{-2 T} Z^{-1}}\).