Para determinar as raízes da equação característica do sistema de controle, precisamos analisar a função de transferência em malha aberta \(G(Z)\) dada: \[ G(Z) = \frac{0,4 Z + 0,35}{(Z - 0,4)(Z - 1)} \] A equação característica de um sistema de controle em malha fechada é dada por: \[ 1 + K \cdot G(Z) = 0 \] Quando \(K = 1\), temos: \[ 1 + G(Z) = 0 \] Isso implica que precisamos resolver a equação: \[ (Z - 0,4)(Z - 1) + (0,4 Z + 0,35) = 0 \] Expandindo e simplificando essa equação, obtemos: \[ Z^2 - 1,4Z + 0,4 \cdot 0,35 = 0 \] Agora, podemos calcular as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ Z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 1\), \(b = -1,4\) e \(c = 0,4 \cdot 0,35\). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-1,4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (0,4 \cdot 0,35) \] Após calcular, encontramos as raízes e podemos determinar se o sistema é estável ou instável. Um sistema é considerado estável se todas as raízes têm módulo menor que 1. Analisando as alternativas: A) \(Z_{1,2}=0,5 \pm j 0,7 / \) instável B) \(Z_{1,2}=1 \pm j 1,4 / \) estável C) \(Z_{1,2}=1 \pm j 0,7 / \) estável D) \(Z_{1,2}=1 \pm j 1,4 / \) instável E) \(Z_{1,2}=0,5 \pm j 0,7 / \) estável Após a análise, a alternativa correta é: A) \(Z_{1,2}=0,5 \pm j 0,7 / \) instável Isso porque as raízes estão dentro do círculo unitário, mas a parte real é positiva, indicando instabilidade.