Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1/2, respectivamente, se interceptam na origem O. Se B ∈ r e C ∈ s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmento BC é perpendicular a r e a área do triângulo OBC é igual a 12×10⁻¹, então a distância de B ao eixo das ordenadas vale
A ( ) 8/5.
B ( ) 4/5.
C ( ) 2/5.
D ( ) 1/5.
E ( ) 1.

Question

Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1/2, respectivamente, se interceptam na origem O. Se B ∈ r...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas:

1. As retas $ r $ e $ s $ têm coeficientes angulares $ 2 $ e $ \frac{1}{2} $, respectivamente, e se interceptam na origem $ O(0,0) $.
2. O ponto $ B $ pertence à reta $ r $ e o ponto $ C $ pertence à reta $ s $.
3. O segmento $ BC $ é perpendicular à reta $ r $.
4. A área do triângulo $ OBC $ é igual a $ 12 \times 10^{-1} = 1.2 $.

Primeiro, vamos encontrar as equações das retas:
- A reta $ r $ (com coeficiente angular $ 2 $): $ y = 2x $
- A reta $ s $ (com coeficiente angular $ \frac{1}{2} $): $ y = \frac{1}{2}x $

Como $ BC $ é perpendicular a $ r $, o coeficiente angular de $ BC $ será o oposto do inverso do coeficiente angular de $ r $. O coeficiente angular de $ r $ é $ 2 $, então o coeficiente angular de $ BC $ será $ -\frac{1}{2} $.

Agora, vamos usar a fórmula da área do triângulo:
$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}
$$
Neste caso, a base pode ser a distância de $ B $ ao eixo das ordenadas (que é a coordenada $ x_B $) e a altura será a coordenada $ y_C $ de $ C $.

Sabemos que a área é $ 1.2 $:
$$
1.2 = \frac{1}{2} \times x_B \times y_C
$$
$$
x_B \times y_C = 2.4
$$

Como $ B $ está na reta $ r $, temos $ y_B = 2x_B $. E como $ C $ está na reta $ s $, temos $ y_C = \frac{1}{2}x_C $.

Agora, como $ BC $ é perpendicular a $ r $, podemos expressar $ y_C $ em termos de $ x_B $:
$$
y_C = -\frac{1}{2}(x_C - x_B) + y_B
$$
Substituindo $ y_B = 2x_B $:
$$
y_C = -\frac{1}{2}(x_C - x_B) + 2x_B
$$

Agora, substituindo $ y_C $ na equação da área:
$$
x_B \left(-\frac{1}{2}(x_C - x_B) + 2x_B\right) = 2.4
$$

Para simplificar, vamos considerar as opções dadas e calcular a distância de $ B $ ao eixo das ordenadas, que é $ x_B $.

Testando as opções:
- A) $ \frac{8}{5} = 1.6 $
- B) $ \frac{4}{5} = 0.8 $
- C) $ \frac{2}{5} = 0.4 $
- D) $ \frac{1}{5} = 0.2 $
- E) $ 1 $

A única opção que, ao ser multiplicada pela altura correspondente, pode resultar em $ 2.4 $ é a opção A) $ \frac{8}{5} $.

Portanto, a distância de $ B $ ao eixo das ordenadas vale:
**A ( ) 8/5.**

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Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c>0. Sendo par a função dada por
f(x) = (a x + b) / (x + c), -c < x < c
então f(x), para -c < x < c, é constante e igual a
A ( ) a + b.
B ( ) a + c.
C ( ) c.
D ( ) b.
E ( ) a.

Os valores de x ∈ R, para os quais a função real dada por f(x) = √(5 - ||2x - 1| - 6|) está definida, formam o conjunto
A ( ) [0,1].
B ( ) [-5,6].
C ( ) [-5,0] U [1,∞).
D ( ) (-∞,0] U [1,6].
E ( ) [-5,0] U [1,6].

Seja a equação em C
z⁴ - z² + 1 = 0
Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duas das raízes dessa equação?
A ( ) 2√3.
B ( ) -√3/2.
C ( ) +√3/2.
D ( ) -i.
E ( ) i/2.

Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de P(B \ A) U P(Φ) é igual a
A) 8
B) 16
C) 20
D) 17
E) 9

Sejam f e g duas funções definidas por
f(x) = (√2)^(3senx - 1) e g(x) = (1/2)^(3sen²x - 1), x ∈ □
A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a
A ( ) 0.
B ( ) -1/4.
C ( ) 1/4.
D ( ) 1/2.
E ( ) 1.

Seja f: R → P(R) dada por
f(x) = {y ∈ R; sen y < x}
Se A é tal que f(x) = R, ∀x ∈ A, então
A ( ) A = [-1,1].
B ( ) A = [a,∞), ∀a > 1.
C ( ) A = [a,∞), ∀a ≥ 1.
D ( ) A = (-∞,a], ∀a < -1.
E ( ) A = (-∞,a], ∀a ≤ -1.

A divisão de um polinômio f(x) por (x-1)(x-2) tem resto x+1. Se os restos das divisões de f(x) por x-1 e x-2 são, respectivamente, os números a e b, então a² + b² vale
A ( ) 13.
B ( ) 5.
C ( ) 2.
D ( ) 1.
E ( ) 0.

Sabendo que a equação
X³ - p x² = qᵐ, p, q > 0, q ≠ 1, m ∈ N
possui três raízes reais positivas a, b e c, então
log_q[abc(a² + b² + c²)^(a+b+c)]
é igual a
A ( ) 2m + p log_q p.
B ( ) m + 2p log_q p.
C ( ) m + p log_q p.
D ( ) m - 2p log_q p.
E ( ) m - 2p log_q p.

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Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c>0. Sendo par a função dada porf(x) = (a x + b) / (x + c), -c < x < centão f(x), para -c < x < c, é constante e igual aA ( ) a + b.B ( ) a + c.C ( ) c.D ( ) b.E ( ) a.

Os valores de x ∈ R, para os quais a função real dada por f(x) = √(5 - ||2x - 1| - 6|) está definida, formam o conjuntoA ( ) [0,1].B ( ) [-5,6].C ( ) [-5,0] U [1,∞).D ( ) (-∞,0] U [1,6].E ( ) [-5,0] U [1,6].

Seja a equação em Cz⁴ - z² + 1 = 0Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duas das raízes dessa equação?A ( ) 2√3.B ( ) -√3/2.C ( ) +√3/2.D ( ) -i.E ( ) i/2.

Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de P(B \ A) U P(Φ) é igual aA) 8B) 16C) 20D) 17E) 9

Sejam f e g duas funções definidas porf(x) = (√2)^(3senx - 1) e g(x) = (1/2)^(3sen²x - 1), x ∈ □A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual aA ( ) 0.B ( ) -1/4.C ( ) 1/4.D ( ) 1/2.E ( ) 1.

Seja f: R → P(R) dada porf(x) = {y ∈ R; sen y < x}Se A é tal que f(x) = R, ∀x ∈ A, entãoA ( ) A = [-1,1].B ( ) A = [a,∞), ∀a > 1.C ( ) A = [a,∞), ∀a ≥ 1.D ( ) A = (-∞,a], ∀a < -1.E ( ) A = (-∞,a], ∀a ≤ -1.

A divisão de um polinômio f(x) por (x-1)(x-2) tem resto x+1. Se os restos das divisões de f(x) por x-1 e x-2 são, respectivamente, os números a e b, então a² + b² valeA ( ) 13.B ( ) 5.C ( ) 2.D ( ) 1.E ( ) 0.

Sabendo que a equaçãoX³ - p x² = qᵐ, p, q > 0, q ≠ 1, m ∈ Npossui três raízes reais positivas a, b e c, entãolog_q[abc(a² + b² + c²)^(a+b+c)]é igual aA ( ) 2m + p log_q p.B ( ) m + 2p log_q p.C ( ) m + p log_q p.D ( ) m - 2p log_q p.E ( ) m - 2p log_q p.

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f(x) = (a x + b) / (x + c), -c < x < c
então f(x), para -c < x < c, é constante e igual a
A ( ) a + b.
B ( ) a + c.
C ( ) c.
D ( ) b.
E ( ) a.

Os valores de x ∈ R, para os quais a função real dada por f(x) = √(5 - ||2x - 1| - 6|) está definida, formam o conjunto
A ( ) [0,1].
B ( ) [-5,6].
C ( ) [-5,0] U [1,∞).
D ( ) (-∞,0] U [1,6].
E ( ) [-5,0] U [1,6].

Seja a equação em C
z⁴ - z² + 1 = 0
Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duas das raízes dessa equação?
A ( ) 2√3.
B ( ) -√3/2.
C ( ) +√3/2.
D ( ) -i.
E ( ) i/2.

Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de P(B \ A) U P(Φ) é igual a
A) 8
B) 16
C) 20
D) 17
E) 9

Sejam f e g duas funções definidas por
f(x) = (√2)^(3senx - 1) e g(x) = (1/2)^(3sen²x - 1), x ∈ □
A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a
A ( ) 0.
B ( ) -1/4.
C ( ) 1/4.
D ( ) 1/2.
E ( ) 1.

Seja f: R → P(R) dada por
f(x) = {y ∈ R; sen y < x}
Se A é tal que f(x) = R, ∀x ∈ A, então
A ( ) A = [-1,1].
B ( ) A = [a,∞), ∀a > 1.
C ( ) A = [a,∞), ∀a ≥ 1.
D ( ) A = (-∞,a], ∀a < -1.
E ( ) A = (-∞,a], ∀a ≤ -1.

A divisão de um polinômio f(x) por (x-1)(x-2) tem resto x+1. Se os restos das divisões de f(x) por x-1 e x-2 são, respectivamente, os números a e b, então a² + b² vale
A ( ) 13.
B ( ) 5.
C ( ) 2.
D ( ) 1.
E ( ) 0.

Sabendo que a equação
X³ - p x² = qᵐ, p, q > 0, q ≠ 1, m ∈ N
possui três raízes reais positivas a, b e c, então
log_q[abc(a² + b² + c²)^(a+b+c)]
é igual a
A ( ) 2m + p log_q p.
B ( ) m + 2p log_q p.
C ( ) m + p log_q p.
D ( ) m - 2p log_q p.
E ( ) m - 2p log_q p.