Prova de Variável Complexa RESOLVIDA

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Universidade Federal do Ceara´ Professor: Yuri Lima
Curso: Introduc¸a˜o a`s varia´veis complexas (CB 0642) Semestre: 2018.1
Resoluc¸a˜o da segunda AP
Aluno: . Matr´ıcula: .
Instruc¸o˜es:
1. A prova vale 12 pontos, e cada item vale 1,5
ponto.
2. O tempo de durac¸a˜o da prova e´ de 2h30min.
3. A prova deve ser realizada de forma individual.
4. O in´ıcio e o te´rmino da soluc¸a˜o de cada pro-
blema devem ser claramente indicados.
5. Todos os ca´lculos e argumentos pertinentes a`s
soluc¸o˜es devem ser apresentados, assim como men-
cionados os teoremas utilizados.
6. Rascunhos na˜o sera˜o corrigidos.
7. Na˜o e´ permitido o uso de calculadora.
(1) Seja C a concatenac¸a˜o dos segmentos de reta de z = 0 ate´ z = 2 e de z = 2 ate´ z = 2− 2i.
Calcule
∫
C
|z|2dz.
Soluc¸a˜o. Seja A o segmento de 0 a 2, e B o segmento de 2 a 2 − 2i. Parametrizando A por
z = 2t, 0 ≤ 1 ≤ t, obtemos ∫
A
|z|2dz =
∫ 1
0
(2t)2 · 2dt = 8t
3
3
∣∣∣∣1
0
=
8
3
.
Parametrizando B por z = 2− 2ti, 0 ≤ t ≤ 1, temos |z|2 = 4 + 4t2 e portanto∫
B
|z|2dz =
∫ 1
0
(4 + 4t2) · (−2i)dt = −8i
∫ 1
0
(t2 + 1)dt = −8i
(
t3
3 + t
) ∣∣∣∣1
0
= −32i.
Assim, ∫
C
|z|2dz =
∫
A
|z|2dz +
∫
B
|z|2dz = 8
3
− 32i.
(2) Seja C a semicircunfereˆncia com centro i e raio 1, com ponto inicial 0 e ponto final 2i,
percorrido no sentido anti-hora´rio, conforme a figura. Calcule
∫
C
1
z − idz.
Soluc¸a˜o. Fazendo z = i+ eit, −pi2 ≤ t ≤ pi2 , temos dz = ieitdt e portanto∫
C
1
z − idz =
∫ pi
2
−pi
2
1
eit
· ieitdt = pii.
C
i
(3) Seja C a curva y = 2x2 − 2x+ 1 unindo os pontos (0, 1) e (1, 1). Calcule
∫
C
(ez − z)dz.
Soluc¸a˜o. A func¸a˜o f(z) = ez − z possui primitiva F (z) = ez − z22 , portanto pelo teorema
fundamental do ca´lculo segue que∫
C
(ez − z)dz = F (1 + i)− F (i) = e1+i − (1+i)22 − ei − i
2
2 .
(4) Calcule
∫
C
f(z)dz, onde C e´ a elipse |z − 1|+ |z + 1| = 4 e f(z) = z cos(z2).
Soluc¸a˜o. A func¸a˜o f(z) = z cos(z2) possui primitiva F (z) = 12sen(z
2), portanto como C e´
fechada segue que ∫
C
f(z)dz = 0.
(5) Calcule
∫
C
f(z)dz, onde C e´ a curva abaixo e f(x+ iy) = x2 − y2 + 2xyi.
2 4
C
Soluc¸a˜o. Note que f(z) = z2 possui primitiva F (z) = z
3
3 , portanto∫
C
f(z)dz =
z3
3
∣∣∣∣4
2
=
56
3
·
(6) Calcule
∫
C
cos (2piz)
(z2 − 1)(z + 2)dz, onde C denota a curva abaixo.
1−1−2
C
2
Soluc¸a˜o. Seja γ1 uma pequena circunfereˆncia ao redor de −1 e γ2 uma pequena circunfereˆncia
ao redor de 1. Pelo teorema de Cauchy-Goursat para domı´nios multiplamente conexos (princ´ıpio
da deformac¸a˜o), temos∫
C
cos (2piz)
(z2 − 1)(z + 2)dz =
∫
γ1
cos (2piz)
(z2 − 1)(z + 2)dz +
∫
γ2
cos (2piz)
(z2 − 1)(z + 2)dz.
Seja f(z) = cos(2piz)(z−1)(z+2) . Pela fo´rmula integral de Cauchy aplicada a f no ponto z0 = −1, temos∫
γ1
cos (2piz)
(z2 − 1)(z + 2)dz =
∫
γ1
f(z)
z + 1
dz = 2piif(−1) = −pii.
Seja g(z) = cos(2piz)(z+1)(z+2) . Pela fo´rmula integral de Cauchy aplicada a g no ponto z0 = 1, temos∫
γ1
cos (2piz)
(z2 − 1)(z + 2)dz =
∫
γ1
g(z)
z − 1dz = 2piig(1) =
pii
3
.
Portanto, ∫
C
cos (2piz)
(z2 − 1)(z + 2)dz = −pii+
pii
3
= −2pii
3
·
(7) Calcule
∫
C
ez
2
z2
dz, onde C e´ a circunfereˆncia de centro 0 e raio 1.
Soluc¸a˜o. Seja f(z) = ez
2
. Temos f ′(z) = 2zez2 , portanto f ′(0) = 0. Pela fo´rmula integral de
Cauchy aplicada a` derivada de f no ponto z0 = 0, segue que∫
C
ez
2
z2
dz =
2pii
1!
f ′(0) = 0.
(8) Ache todas as func¸o˜es inteiras f : C→ C tais que f(0) = f ′(0) = 1 e |f ′(z)| ≤ 1 para todo
z ∈ C.
Soluc¸a˜o. Sabemos que se f e´ inteira enta˜o f ′ e´ inteira. Portanto f ′ e´ inteira e limitada e da´ı,
pelo princ´ıpio do ma´ximo, f ′ e´ constante. Como f ′(0) = 1, segue que f ′(z) = 1 para todo z ∈ C.
Assim, f(z) = az + 1 para algum a ∈ C. Usando que f(0) = 1, segue que a = 1, portanto
f(z) = z + 1 para todo z ∈ C.
3