$$(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^{2}+(\mathbf{A} \times \mathbf{B})^{2}=(A B)^{2}$$

A expressão que você apresentou é uma identidade vetorial que relaciona o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores \(\mathbf{A}\) e \(\mathbf{B}\). A identidade é verdadeira e pode ser demonstrada da seguinte forma: 1. O produto escalar \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) é dado por \(AB \cos(\theta)\), onde \(\theta\) é o ângulo entre os vetores \(\mathbf{A}\) e \(\mathbf{B}\). 2. O produto vetorial \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\) tem magnitude \(AB \sin(\theta)\). 3. Portanto, temos: - \((\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2 = (AB \cos(\theta))^2 = A^2 B^2 \cos^2(\theta)\) - \((\mathbf{A} \times \mathbf{B})^2 = (AB \sin(\theta))^2 = A^2 B^2 \sin^2(\theta)\) 4. Agora, somando as duas expressões: \[ (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2 + (\mathbf{A} \times \mathbf{B})^2 = A^2 B^2 \cos^2(\theta) + A^2 B^2 \sin^2(\theta) \] 5. Usando a identidade trigonométrica \(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\), obtemos: \[ A^2 B^2 (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)) = A^2 B^2 \cdot 1 = (AB)^2 \] Assim, a identidade \((\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^{2}+(\mathbf{A} \times \mathbf{B})^{2}=(A B)^{2}\) é confirmada.