Vamos analisar cada uma das alternativas para identificar qual delas não é válida: (a) \(\mathbf{a}(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a b}+\mathbf{b c}\) - Esta identidade não é válida. A forma correta seria \(\mathbf{a}(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a b}+\mathbf{a c}\). (b) \(\mathbf{a} \times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \times \mathbf{b}+\mathbf{a} \times \mathbf{c}\) - Esta identidade é válida, pois a multiplicação vetorial é distributiva. (c) \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\) - Esta identidade é válida, pois a multiplicação escalar é comutativa. (d) \(\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})=-\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{c})\) - Esta identidade é válida e é uma consequência da propriedade do produto vetorial. (e) \(\mathbf{a}_{A} \cdot \mathbf{a}_{B}=\cos \theta_{A B}\) - Esta identidade é válida, mas deve ser considerada com a magnitude dos vetores, ou seja, \(\mathbf{a}_{A} \cdot \mathbf{a}_{B} = |\mathbf{a}_{A}| |\mathbf{a}_{B}| \cos \theta_{A B}\). Portanto, a alternativa que não é válida é a: (a) \(\mathbf{a}(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a b}+\mathbf{b c}\).