Quantas diagonais tem um polígono regular cuja medida do ângulo interno é o quádruplo da medida do ângulo externo?

Para resolver essa questão, vamos usar algumas propriedades dos polígonos. 1. A soma dos ângulos internos de um polígono com \( n \) lados é dada por \( (n - 2) \times 180^\circ \). 2. O ângulo interno \( A \) de um polígono regular é \( \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \). 3. O ângulo externo \( B \) de um polígono regular é \( \frac{360^\circ}{n} \). Segundo a questão, o ângulo interno é o quádruplo do ângulo externo: \[ A = 4B \] Substituindo as expressões: \[ \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} = 4 \times \frac{360^\circ}{n} \] Simplificando: \[ (n - 2) \times 180 = 1440 \] \[ n - 2 = \frac{1440}{180} \] \[ n - 2 = 8 \] \[ n = 10 \] Agora, para encontrar o número de diagonais \( D \) de um polígono, usamos a fórmula: \[ D = \frac{n(n - 3)}{2} \] Substituindo \( n = 10 \): \[ D = \frac{10(10 - 3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = 35 \] Portanto, um polígono regular cuja medida do ângulo interno é o quádruplo da medida do ângulo externo tem 35 diagonais.