Para verificar se a EDO dada é exata, precisamos identificar as funções \( M(x, y) \) e \( N(x, y) \) da forma \( M(x, y) + N(x, y) \frac{dy}{dx} = 0 \). Dada a EDO: \[ M(x, y) = 3x^2y + 2xy + y^3 \] \[ N(x, y) = x^2 + y^2 \] A EDO é exata se: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \] Calculando as derivadas: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = 3x^2 + 2x + 3y^2 \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = 2x \] Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), a EDO não é exata. Para encontrar um fator integrante \( \mu(x) \) que torne a EDO exata, podemos usar a fórmula: \[ \mu(x) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} dy} \] Neste caso, como a EDO não é exata, você pode tentar um fator integrante que depende apenas de \( x \) ou \( y \). Um método comum é usar \( \mu(x) = \frac{1}{N} \). Após encontrar o fator integrante, multiplique a EDO original por \( \mu(x) \) e verifique se a nova EDO é exata. Se for, você pode então encontrar a solução geral. Para a solução particular do PVI considerando \( y(0) = 1 \), você deve substituir \( x = 0 \) na solução geral e resolver para a constante de integração. Se precisar de mais detalhes sobre cada passo, é só avisar!