Determinar a área limitada pelas curvas y = x^3 e y = sqrt{x}. Construa o gráfico.

Para determinar a área limitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = \sqrt{x} \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas funções: \[ x^3 = \sqrt{x} \] Elevando ambos os lados ao quadrado: \[ x^6 = x \] Isso nos dá: \[ x^6 - x = 0 \implies x(x^5 - 1) = 0 \] Portanto, \( x = 0 \) ou \( x^5 = 1 \) (ou seja, \( x = 1 \)). Os pontos de interseção são \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 2. Determinar a área entre as curvas: A área \( A \) entre as curvas de \( x = 0 \) a \( x = 1 \) é dada por: \[ A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^3) \, dx \] 3. Calcular a integral: - A integral de \( \sqrt{x} \) é \( \frac{2}{3} x^{3/2} \). - A integral de \( x^3 \) é \( \frac{1}{4} x^4 \). Assim, temos: \[ A = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} x^4 \right]_{0}^{1} \] Calculando nos limites: \[ A = \left( \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot 1^4 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot 0^4 \right) \] \[ A = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \] Para subtrair, precisamos de um denominador comum (12): \[ A = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12} \] 4. Resultado: A área limitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = \sqrt{x} \) é \( \frac{5}{12} \). 5. Gráfico: Para construir o gráfico, você pode usar um software de gráficos ou uma calculadora gráfica. As curvas se cruzam nos pontos \( (0, 0) \) e \( (1, 1) \). Se precisar de mais detalhes sobre como construir o gráfico, é só avisar!