Para determinar o volume do sólido limitado pela superfície \( f(x,y) = 2x^2y^2 \) e pelos planos coordenados \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \), além dos planos \( x = 1 \) e \( y = 1 \), precisamos calcular a integral tripla. O volume \( V \) pode ser expresso como: \[ V = \iiint_{E} dV \] onde \( E \) é a região definida pelas condições mencionadas. A integral tripla pode ser configurada como: \[ V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2x^2y^2} dz \, dy \, dx \] A integral em relação a \( z \) é simples, pois a função é constante em relação a \( z \): \[ \int_{0}^{2x^2y^2} dz = 2x^2y^2 \] Substituindo na integral, temos: \[ V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2x^2y^2 \, dy \, dx \] Agora, vamos calcular a integral em relação a \( y \): \[ \int_{0}^{1} 2x^2y^2 \, dy = 2x^2 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2x^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}x^2 \] Agora, substituímos isso na integral em relação a \( x \): \[ V = \int_{0}^{1} \frac{2}{3}x^2 \, dx = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \] Portanto, o volume do sólido \( E \) é: \[ V = \frac{2}{9} \]