Para determinar o volume do sólido \( E \) limitado pela superfície \( f(x,y) = 2 - x^2 - y^2 \) e pelos planos coordenados \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \), além dos planos \( x = 1 \) e \( y = 1 \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Identificar a região de integração: A superfície \( f(x,y) \) é um paraboloide que se abre para baixo, e a interseção com os planos \( x = 1 \) e \( y = 1 \) limita a região de integração no primeiro quadrante. 2. Encontrar os limites de integração: A função \( f(x,y) \) é positiva quando \( 2 - x^2 - y^2 \geq 0 \), ou seja, \( x^2 + y^2 \leq 2 \). No entanto, como estamos limitados por \( x = 1 \) e \( y = 1 \), a região de integração será um quadrado com vértices em \( (0,0) \), \( (1,0) \), \( (1,1) \) e \( (0,1) \). 3. Configurar a integral dupla: O volume \( V \) pode ser calculado pela integral dupla: \[ V = \iint_R (2 - x^2 - y^2) \, dA \] onde \( R \) é a região delimitada por \( 0 \leq x \leq 1 \) e \( 0 \leq y \leq 1 \). 4. Calcular a integral: \[ V = \int_0^1 \int_0^1 (2 - x^2 - y^2) \, dy \, dx \] Primeiro, integramos em relação a \( y \): \[ V = \int_0^1 \left[ 2y - x^2y - \frac{y^3}{3} \right]_0^1 \, dx = \int_0^1 \left( 2 - x^2 - \frac{1}{3} \right) \, dx \] \[ = \int_0^1 \left( \frac{6}{3} - x^2 - \frac{1}{3} \right) \, dx = \int_0^1 \left( \frac{5}{3} - x^2 \right) \, dx \] Agora, integramos em relação a \( x \): \[ V = \left[ \frac{5}{3}x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} \] 5. Resultado final: O volume do sólido \( E \) é \( \frac{4}{3} \) unidades cúbicas.