Os axiomas que regem a adição e a multiplicação no conjunto dos números reais são os seguintes: ### Axiomas da Adição: 1. Fechamento: Para todo \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a + b \in \mathbb{R} \). 2. Associatividade: Para todo \( a, b, c \in \mathbb{R} \), \( (a + b) + c = a + (b + c) \). 3. Comutatividade: Para todo \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a + b = b + a \). 4. Elemento Neutro: Existe um número real \( 0 \) tal que, para todo \( a \in \mathbb{R} \), \( a + 0 = a \). 5. Inverso Aditivo: Para todo \( a \in \mathbb{R} \), existe um número real \( -a \) tal que \( a + (-a) = 0 \). ### Axiomas da Multiplicação: 1. Fechamento: Para todo \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a \cdot b \in \mathbb{R} \). 2. Associatividade: Para todo \( a, b, c \in \mathbb{R} \), \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \). 3. Comutatividade: Para todo \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a \cdot b = b \cdot a \). 4. Elemento Neutro: Existe um número real \( 1 \) tal que, para todo \( a \in \mathbb{R} \), \( a \cdot 1 = a \). 5. Inverso Multiplicativo: Para todo \( a \in \mathbb{R} \) (com \( a \neq 0 \)), existe um número real \( \frac{1}{a} \) tal que \( a \cdot \frac{1}{a} = 1 \). ### Propriedades: - Distributividade: Para todo \( a, b, c \in \mathbb{R} \), \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \). Esses axiomas formam a base para a aritmética dos números reais.