Seja o ponto dado por  \(P=(x,y)\)

Seja esse ponto no eixo \(x\)  ( ou seja, quando \(y\) for zero) dado por : \(Q=(x,0)\)

Seja o ponto \(H=(0,4)\)

Temos:

\(d(PQ)=d(PH)\)

Usando a equação de distância entre pontos:

\(d(PQ)=d(PH)\\ \sqrt{(x-x)^2+(y0-0)^2}=\sqrt{(x-0)^2+(y-4)^2}\\ \sqrt{(y)^2}=\sqrt{(x^2+(y-4)^2}\\\)

Elevando ambos os lados ao quadrado conseguimos retirar a raíz:

\(\sqrt{(y0)^2}=\sqrt{(x^2+(y-4)^2}\\ y^2=x^2+(y-4)^2\\ y^2=x^2+y^2-8y+16\\ 8y=x^2+16\\ y=\frac{x^2}{8}+2\)

O lugar geometrico é uma parábola.