Para encontrar a taxa de variação da temperatura \( z \) em relação ao tempo \( t \) ao longo da curva \( \gamma(t) = (t^3 + 2t, 2t) \), precisamos usar a regra da cadeia. Primeiro, vamos definir \( x(t) = t^3 + 2t \) e \( y(t) = 2t \). A função de temperatura é dada por: \[ z = f(x, y) = xy^2 + xy \] Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de \( f \): 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y^2 + y \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2xy + x \] Agora, vamos calcular \( \frac{dz}{dt} \) usando a regra da cadeia: \[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} \] Primeiro, precisamos calcular \( \frac{dx}{dt} \) e \( \frac{dy}{dt} \): - \( x(t) = t^3 + 2t \) \[ \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 2 \] - \( y(t) = 2t \) \[ \frac{dy}{dt} = 2 \] Agora, vamos avaliar \( \frac{dz}{dt} \) no instante \( t = 1 \): 1. Calcule \( x(1) \) e \( y(1) \): \[ x(1) = 1^3 + 2(1) = 3 \] \[ y(1) = 2(1) = 2 \] 2. Calcule \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \) em \( (x(1), y(1)) = (3, 2) \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2(3)(2) + 3 = 12 + 3 = 15 \] 3. Calcule \( \frac{dx}{dt} \) e \( \frac{dy}{dt} \) em \( t = 1 \): \[ \frac{dx}{dt} = 3(1)^2 + 2 = 3 + 2 = 5 \] \[ \frac{dy}{dt} = 2 \] 4. Agora, substitua tudo na fórmula de \( \frac{dz}{dt} \): \[ \frac{dz}{dt} = 6 \cdot 5 + 15 \cdot 2 = 30 + 30 = 60 \] Portanto, a taxa de variação de temperatura sofrida pela partícula no instante \( t = 1 \) é: \[ \frac{dz}{dt} \bigg|_{t=1} = 60 \] A alternativa correta é: d z d t ∣ t = 1 = 60.