Vamos analisar cada uma das opções para determinar qual delas é falsa em relação à transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) definida por \( T(x,y,z) = (x, y-z) \). Opção A: \( T(0) = 0 \) Calculando \( T(0,0,0) \): \( T(0,0,0) = (0, 0-0) = (0,0) \). Portanto, a opção A é verdadeira. Opção B: T é sobrejetora. Para que \( T \) seja sobrejetora, a imagem de \( T \) deve cobrir todo \( \mathbb{R}^2 \). A imagem de \( T \) é dada por \( (x, y-z) \). Por exemplo, não é possível obter o vetor \( (0,1) \) se \( y-z \) não puder ser igual a 1 para algum \( y \) e \( z \). Portanto, \( T \) não é sobrejetora. A opção B é falsa. Opção C: T é injetora. Para que \( T \) seja injetora, \( T(x_1, y_1, z_1) = T(x_2, y_2, z_2) \) deve implicar que \( (x_1, y_1, z_1) = (x_2, y_2, z_2) \). Por exemplo, \( T(1, 2, 1) = (1, 1) \) e \( T(1, 3, 2) = (1, 1) \), mas \( (1, 2, 1) \neq (1, 3, 2) \). Portanto, \( T \) não é injetora. A opção C é verdadeira. Opção D: O vetor \( u = (0,1,1) \in N(T) \) Para verificar se \( u \) está no núcleo de \( T \), precisamos ver se \( T(0,1,1) = (0, 1-1) = (0,0) \). Portanto, \( u \) está no núcleo de \( T \). A opção D é verdadeira. Opção E: T é uma transformação linear. Para ser uma transformação linear, \( T \) deve satisfazer as propriedades de aditividade e homogeneidade. Como \( T \) é da forma \( T(x,y,z) = (x, y-z) \), ela é linear. A opção E é verdadeira. Dessa forma, a alternativa FALSA é a Opção B: T é sobrejetora.