Para analisar o subconjunto \( W = \{(1,0,1), (1,1,1), (0,1,0)\} \) em \( E = \mathbb{R}^3 \), precisamos verificar algumas propriedades: 1. Base de \( E \): Para que \( W \) seja uma base de \( E \), ele deve conter 3 vetores linearmente independentes, pois a dimensão de \( \mathbb{R}^3 \) é 3. Vamos verificar a independência linear. 2. Gerar \( E \): Para gerar \( E \), \( W \) também precisaria ser composto por 3 vetores linearmente independentes. 3. Dimensão de \( W \): A dimensão de \( W \) é o número máximo de vetores linearmente independentes que ele contém. 4. Conjunto \( W \cup \{(2,2,2)\} \): Precisamos verificar se a adição desse vetor altera a independência linear. 5. Linearmente Independente (L.I.): Um conjunto é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Agora, vamos analisar as opções: - Opção A: \( W \) é uma base de \( E \) - FALSO, pois não tem 3 vetores linearmente independentes. - Opção B: \( W \) gera \( E \) - FALSO, pois não é uma base. - Opção C: \( W \cup \{(2,2,2)\} \) é base de \( E \) - FALSO, pois \( (2,2,2) \) é uma combinação linear dos vetores de \( W \). - Opção D: \( \text{dim}(W) = 2 \) - VERDADEIRO, pois os vetores em \( W \) são linearmente independentes, mas não formam uma base para \( \mathbb{R}^3 \). - Opção E: \( W \) é L.I. - FALSO, pois \( W \) não é linearmente independente. Portanto, a alternativa correta é: Opção D: dim(W) = 2.