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Em funções compostas, a regra da cadeia é utilizada para calcular a derivada de forma eficiente. Determine a derivada da função dada por f(x) = sen(cos x) + cos(sen(x)) no ponto de abscissa x=π.
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Rogério Vasconcelos

mês passado

Respostas

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mês passado

Para determinar a derivada da função \( f(x) = \sen(\cos x) + \cos(\sen x) \) no ponto \( x = \pi \), vamos usar a regra da cadeia. 1. Derivada da primeira parte: \( \sen(\cos x) \) - A derivada de \( \sen(u) \) é \( \cos(u) \cdot u' \), onde \( u = \cos x \). - A derivada de \( \cos x \) é \( -\sen x \). - Portanto, a derivada de \( \sen(\cos x) \) é: \[ \frac{d}{dx}[\sen(\cos x)] = \cos(\cos x) \cdot (-\sen x) = -\sen x \cdot \cos(\cos x) \] 2. Derivada da segunda parte: \( \cos(\sen x) \) - A derivada de \( \cos(v) \) é \( -\sen(v) \cdot v' \), onde \( v = \sen x \). - A derivada de \( \sen x \) é \( \cos x \). - Portanto, a derivada de \( \cos(\sen x) \) é: \[ \frac{d}{dx}[\cos(\sen x)] = -\sen(\sen x) \cdot \cos x \] 3. Derivada total: - Agora, somamos as duas derivadas: \[ f'(x) = -\sen x \cdot \cos(\cos x) - \sen(\sen x) \cdot \cos x \] 4. Avaliação em \( x = \pi \): - \( \sen(\pi) = 0 \) - \( \cos(\pi) = -1 \) - \( \cos(\cos(\pi)) = \cos(-1) \) - \( \sen(\sen(\pi)) = \sen(0) = 0 \) Substituindo \( x = \pi \) na derivada: \[ f'(\pi) = -0 \cdot \cos(-1) - 0 \cdot (-1) = 0 \] Portanto, a derivada da função \( f(x) \) no ponto \( x = \pi \) é \( f'(\pi) = 0 \).

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