Para resolver a questão sobre a transformada de Laplace da função \( t \cdot \sin(kt) \), precisamos lembrar que a transformada de Laplace de \( t \cdot f(t) \) pode ser obtida usando a propriedade da derivada da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de \( \sin(kt) \) é dada por: \[ L\{\sin(kt)\} = \frac{k}{s^2 + k^2} \] Usando a propriedade que relaciona a transformada de \( t \cdot f(t) \) com a derivada da transformada de \( f(t) \): \[ L\{t \cdot f(t)\} = -\frac{d}{ds} L\{f(t)\} \] Portanto, aplicando isso à função \( \sin(kt) \): 1. Primeiro, encontramos a transformada de \( \sin(kt) \): \[ L\{\sin(kt)\} = \frac{k}{s^2 + k^2} \] 2. Agora, derivamos essa expressão em relação a \( s \): \[ -\frac{d}{ds} \left( \frac{k}{s^2 + k^2} \right) \] 3. A derivada resulta em: \[ -k \cdot \frac{-2s}{(s^2 + k^2)^2} = \frac{2ks}{(s^2 + k^2)^2} \] Assim, a transformada de Laplace de \( t \cdot \sin(kt) \) é: \[ L\{t \cdot \sin(kt)\} = \frac{2ks}{(s^2 + k^2)^2} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( L = \frac{2ks}{(s + k)^2} \) B) \( L = \frac{ks}{(s + k)^2} \) C) \( L = \frac{2s}{(s + k)} \) D) \( L = \frac{ks}{(s + k)^2} \) Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à resposta correta que encontramos. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!