Para determinar a matriz da transformação linear \( T \) em relação à base \( B = \{u_1 = (1, 1), u_2 = (-1, 0)\} \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular \( T(u_1) \) e \( T(u_2) \): - Para \( u_1 = (1, 1) \): \[ T(1, 1) = (1 - 1, 1 + 1) = (0, 2) \] - Para \( u_2 = (-1, 0) \): \[ T(-1, 0) = (-1 - 0, -1 + 0) = (-1, -1) \] 2. Expressar \( T(u_1) \) e \( T(u_2) \) como combinações lineares dos vetores da base \( B \): - Precisamos expressar \( (0, 2) \) e \( (-1, -1) \) na forma \( a u_1 + b u_2 \). Para \( T(u_1) = (0, 2) \): \[ (0, 2) = a(1, 1) + b(-1, 0) \implies (a - b, a) = (0, 2) \] Isso nos dá o sistema: \[ a - b = 0 \\ a = 2 \] Resolvendo, temos \( a = 2 \) e \( b = 2 \). Portanto, \( T(u_1) = 2u_1 + 2u_2 \). Para \( T(u_2) = (-1, -1) \): \[ (-1, -1) = a(1, 1) + b(-1, 0) \implies (a - b, a) = (-1, -1) \] Isso nos dá o sistema: \[ a - b = -1 \\ a = -1 \] Resolvendo, temos \( a = -1 \) e \( b = 0 \). Portanto, \( T(u_2) = -1u_1 + 0u_2 \). 3. Montar a matriz \( [T]_B \): A matriz da transformação \( T \) em relação à base \( B \) é formada pelos coeficientes das combinações lineares que encontramos: \[ [T]_B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] Portanto, a matriz \( [T]_B \) é: \[ [T]_B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \]