Vamos analisar cada afirmativa em relação à conversão de coordenadas esféricas para cartesianas. As coordenadas esféricas \((\rho, \theta, \phi)\) se relacionam com as coordenadas cartesianas \((x, y, z)\) da seguinte forma: - \(x = \rho \cdot \sin(\phi) \cdot \cos(\theta)\) - \(y = \rho \cdot \sin(\phi) \cdot \sin(\theta)\) - \(z = \rho \cdot \cos(\phi)\) Agora, vamos analisar as afirmativas: I. \( \phi \) (latitude) afeta \( x \) e \( y \) por seno e \( z \) por cosseno. Verdadeiro. A afirmativa está correta, pois \( \phi \) influencia \( z \) através do cosseno e \( x \) e \( y \) através do seno. II. \( \theta \) (longitude) afeta \( x \) por cosseno e \( y \) por seno no plano \( xy \). Verdadeiro. A afirmativa está correta, pois \( \theta \) influencia \( x \) e \( y \) como descrito. III. As coordenadas cartesianas \((x, y, z)\) são \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}\right)\). Vamos calcular: Dado \(\rho = 2\), \(\theta = \frac{\pi}{3}\) e \(\phi = \frac{\pi}{4}\): - \(x = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(y = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}\) - \(z = 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) Portanto, as coordenadas cartesianas são \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}\right)\), o que confirma que a afirmativa III também é verdadeira. Assim, todas as afirmativas I, II e III estão corretas. A alternativa correta é: d. I, II e III.