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Ed 
anteontem
Vamos analisar as alternativas com base no Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha e integrais de superfície. O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada \( S \) com uma borda \( \partial S \), temos: \[ \int_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \] Agora, vamos analisar cada alternativa: a) \(\int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS = \int_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS\). Verdadeiro. Esta alternativa está correta, pois expressa a relação entre as integrais de linha e de superfície para duas superfícies \( S_1 \) e \( S_2 \) que têm a mesma borda. b) \(\int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS = -\int_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS\). Falso. O sinal negativo não é correto, pois a relação deve ser positiva. c) \(\int_{S_1 \cup S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS = \int_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\). Falso. A integral sobre a união das superfícies não é a forma correta de aplicar o Teorema de Stokes. d) \(\int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS = \int_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS\). Falso. O sinal negativo não é correto, pois a relação deve ser positiva. e) \(-\int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS = \int_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS\). Falso. O sinal negativo não é correto, pois a relação deve ser positiva. Portanto, a alternativa correta é a a): \(\int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS = \int_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot dS\).
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