Para encontrar os pontos críticos da função \( g(x, y) = x^3 - 3xy^2 \), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \) e igualá-las a zero. 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ g_x = \frac{\partial g}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2 \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ g_y = \frac{\partial g}{\partial y} = -6xy \] Agora, igualamos as derivadas a zero: - Para \( g_x = 0 \): \[ 3x^2 - 3y^2 = 0 \implies x^2 = y^2 \implies y = x \text{ ou } y = -x \] - Para \( g_y = 0 \): \[ -6xy = 0 \implies x = 0 \text{ ou } y = 0 \] Agora, analisamos os casos: 1. Se \( x = 0 \): - \( y \) pode ser qualquer valor, mas considerando \( y = x \) ou \( y = -x \), temos \( (0, 0) \). 2. Se \( y = 0 \): - \( x^2 = 0 \) implica \( x = 0 \) (já considerado). - Se \( y = x \), temos \( y = 0 \) e \( x = 0 \) (já considerado). - Se \( y = -x \), temos \( y = 0 \) e \( x = 0 \) (já considerado). 3. Se \( y = x \): - \( -6x^2 = 0 \) implica \( x = 0 \) (já considerado). 4. Se \( y = -x \): - \( -6x(-x) = 0 \) implica \( x = 0 \) (já considerado). Agora, testamos \( x = 1 \) e \( y = -1 \): - Para \( g_x = 0 \): \[ 3(1)^2 - 3(-1)^2 = 3 - 3 = 0 \] - Para \( g_y = 0 \): \[ -6(1)(-1) = 6 \neq 0 \text{ (não é um ponto crítico)} \] Testando \( x = -1 \) e \( y = 1 \): - Para \( g_x = 0 \): \[ 3(-1)^2 - 3(1)^2 = 3 - 3 = 0 \] - Para \( g_y = 0 \): \[ -6(-1)(1) = 6 \neq 0 \text{ (não é um ponto crítico)} \] Portanto, os pontos críticos encontrados são apenas \( (0, 0) \). Analisando as alternativas: a) \( (0, 0) \) b) \( (0, 0) \) e \( (1, -1) \) c) \( (1, 1) \) e \( (-1, -1) \) d) \( (0, 0) \) e \( (1, 1) \) e) \( (0, 0) \) e \( (-1, 1) \) A única alternativa correta que apresenta os pontos críticos é a) \( (0, 0) \).