Para resolver essa questão, vamos analisar cada uma das opções em relação à matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \) e à transformação linear \( T_A \) associada. 1. Opção A: \( T_A(0,1) = (0, -2) \) Vamos calcular \( T_A(0,1) \): \[ T_A(0,1) = A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \] Portanto, a opção A está incorreta. 2. Opção B: O conjunto \( \{T_A(1,0), T_A(0,1)\} \) é base do \( \mathbb{R}^2 \) Vamos calcular \( T_A(1,0) \): \[ T_A(1,0) = A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \] Assim, temos os vetores \( T_A(1,0) = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \) e \( T_A(0,1) = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \). Para verificar se eles formam uma base, precisamos ver se são linearmente independentes. O determinante da matriz formada por esses vetores é: \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = (1)(2) - (-1)(-2) = 2 - 2 = 0 \] Portanto, eles não são linearmente independentes, e a opção B está incorreta. 3. Opção C: \( T_A \) é injetora. Uma transformação linear é injetora se o núcleo (N(T_A)) contém apenas o vetor nulo. Como já vimos, o núcleo não é trivial (determinante zero), então a opção C está incorreta. 4. Opção D: \( N(T_A) \neq 0 \) Como discutido, o núcleo não é trivial, então essa opção está correta. 5. Opção E: \( T_A \) é sobrejetora. Para ser sobrejetora, a imagem deve cobrir todo o \( \mathbb{R}^2 \). Como a transformação não é injetora e o determinante é zero, não pode ser sobrejetora. Portanto, a opção E está incorreta. Diante da análise, a alternativa correta é: Opção D: \( N(T_A) \neq 0 \).