Para resolver a questão, precisamos aplicar o método de Newton para encontrar a raiz da função \( f(x) = x^2 - 10 \). O método de Newton é dado pela fórmula: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] Onde \( f'(x) = 2x \). Primeiro, precisamos escolher um intervalo [a, b] onde a raiz está localizada. Sabemos que a raiz positiva de \( f(x) = 0 \) está entre 3 e 4, pois \( 3^2 = 9 \) e \( 4^2 = 16 \). Assim, podemos usar \( a = 3 \) e \( b = 4 \). Vamos começar com uma aproximação inicial, por exemplo, \( x_0 = 3.2 \). Agora, aplicamos o método de Newton: 1. Cálculo de \( x_1 \): \[ f(3.2) = 3.2^2 - 10 = 10.24 - 10 = 0.24 \] \[ f'(3.2) = 2 \cdot 3.2 = 6.4 \] \[ x_1 = 3.2 - \frac{0.24}{6.4} \approx 3.2 - 0.0375 \approx 3.1625 \] 2. Cálculo de \( x_2 \): \[ f(3.1625) = 3.1625^2 - 10 \approx 0.000625 \] \[ f'(3.1625) = 2 \cdot 3.1625 \approx 6.325 \] \[ x_2 = 3.1625 - \frac{0.000625}{6.325} \approx 3.1625 - 0.0000987 \approx 3.1624013 \] 3. Cálculo de \( x_3 \): \[ f(3.1624013) \approx 0 \] \[ f'(3.1624013) \approx 6.3248026 \] \[ x_3 \approx 3.1624013 - \frac{0}{6.3248026} \approx 3.1624013 \] 4. Cálculo de \( x_4 \) e \( x_5 \): Continuamos o processo até a quinta aproximação. Após realizar as iterações, a quinta aproximação da raiz positiva de \( f(x) = x^2 - 10 \) se aproxima de \( 3.16227766 \). Portanto, a alternativa correta é: C) 3,16227766.