Para calcular o volume do sólido que se encontra abaixo do plano \(x + y + z = 12\) e acima do retângulo \(R = \{(x, y) | 0 \leq x \leq 1, -2 \leq y \leq 3\}\), precisamos expressar \(z\) em função de \(x\) e \(y\): \[ z = 12 - x - y \] O volume \(V\) pode ser calculado pela integral dupla: \[ V = \iint_R (12 - x - y) \, dA \] onde \(dA = dx \, dy\) e \(R\) é o retângulo definido pelos limites de \(x\) e \(y\). Os limites de integração são: - Para \(x\): de \(0\) a \(1\) - Para \(y\): de \(-2\) a \(3\) Assim, a integral fica: \[ V = \int_0^1 \int_{-2}^{3} (12 - x - y) \, dy \, dx \] Vamos calcular a integral interna primeiro: \[ \int_{-2}^{3} (12 - x - y) \, dy = \left[ (12 - x)y - \frac{y^2}{2} \right]_{-2}^{3} \] Calculando os limites: 1. Para \(y = 3\): \[ (12 - x)(3) - \frac{3^2}{2} = 36 - 3x - 4.5 = 31.5 - 3x \] 2. Para \(y = -2\): \[ (12 - x)(-2) - \frac{(-2)^2}{2} = -24 + 2x - 2 = 2x - 26 \] Agora, subtraímos os resultados: \[ \int_{-2}^{3} (12 - x - y) \, dy = (31.5 - 3x) - (2x - 26) = 31.5 - 3x - 2x + 26 = 57.5 - 5x \] Agora, integramos em relação a \(x\): \[ V = \int_0^1 (57.5 - 5x) \, dx = \left[ 57.5x - \frac{5x^2}{2} \right]_0^1 \] Calculando os limites: \[ = (57.5 \cdot 1 - \frac{5 \cdot 1^2}{2}) - (57.5 \cdot 0 - 0) = 57.5 - 2.5 = 55 \] Parece que houve um erro nas opções, pois o volume calculado é 55, que não está entre as opções apresentadas. Por favor, verifique os limites ou a função, pois o resultado não corresponde a nenhuma das alternativas fornecidas.