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Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas. Dessa forma, considerando as funções f(x)=√(x²-4) e g(x)=1/√(x²+4) e também seus conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar que:
1. ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
2. ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais
3. ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2].
4. Incorreta: f(x) requer substituição x=asec(w) e g(x) requer substituição x=asen(w).
5. f(x) requer substituição x=asec(w) e g(x) requer substituição x=atg(w).

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Vamos analisar as funções dadas e as opções apresentadas: 1. f(x) = √(x² - 4): Para essa função, a substituição trigonométrica adequada é \( x = 2 \sec(\theta) \), pois \( \sec(\theta) \) é usado para expressões da forma \( \sqrt{x^2 - a^2} \). O domínio de f(x) é \( x \geq 2 \) ou \( x \leq -2 \). 2. g(x) = 1/√(x² + 4): Para essa função, a substituição trigonométrica adequada é \( x = 2 \tan(\theta) \), pois \( \tan(\theta) \) é usado para expressões da forma \( \sqrt{x^2 + a^2} \). O domínio de g(x) é todos os números reais. Agora, analisando as opções: 1. Incorreta: As funções não têm seus argumentos restritos a esses intervalos. 2. Incorreta: f(x) não possui domínio em todos os números reais. 3. Incorreta: O argumento de f(x) não está restrito a esse intervalo. 4. Incorreta: f(x) requer \( x = 2 \sec(w) \) e g(x) requer \( x = 2 \tan(w) \). 5. Correta: f(x) requer \( x = 2 \sec(w) \) e g(x) requer \( x = 2 \tan(w) \). Portanto, a opção correta é a 5.

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O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do cálculo por nos possibilitar a encontrar uma função primitiva F(x) de uma certa função f(x). Além do método da substituição, outra técnica de integração importante é o da integração por partes, na qual tomamos uma função e a separamos em duas partes para acharmos sua integral indefinida. Considerando f(x)=u e g(x)=v, de forma que f'(x) dx=du e g'(x) dx=dv e de acordo com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir. I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação. II. Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a integral de v.du. III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente para a derivação. IV. Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a obtenção da integral indefinida de uma função. Está correto apenas o que se afirma em:
1. I, II e III.
2. Correta: I e II.
3. II e III.
4. II e IV.
5. I, e IV.

Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis. Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os itens a seguir com os significados descritos: 1) Integração por partes. 2) Integração por substituição trigonométrica. 3) Integração por frações parciais. 4) Integração por substituição u du. ( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais. ( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções. ( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos. ( ) Utilizado para integração de funções racionais. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
4. 3,4,2,1.
5. Correta: 4,1,2,3.
3. 2,1,3,4.
4. 1,2,3,4.
5. 1,2,4,3.

O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em substituir um dos termos por uma função trigonométrica, para que se encontre alguma identidade que simplifica a expressão, possibilitando a sua integração. Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por substituições trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x+C, e pode ser calculada pelo método da substituição trigonométrica, por meio da substituição x=2sec(w). Porque: II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x=2sec(w), temos que √(x²+4)=√[4sec²(w)+4]=√[4(sec²(w)+1)], e como sec²(w)+1=tg²(w), √(x²+4)=2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e integrando, encontramos a expressão dada. Agora, assinale a alternativa correta:
1. As asserções I e II são proposições falsas.
2. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I
3. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
4. Incorreta: A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
5. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente. Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque:
1. Correta: funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método de integração por partes.
2. ambas são axiomas da matemática.
3. as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
4. a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por partes.
5. deve-se derivar as funções antes de integrá-las

Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, auxiliam na resolução daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como integral por partes. Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração: () Orientar-se pelo LIATE. ( ) Determinação de du e v. ( ) Identificar os tipos de funções. ( ) Substituição do u e dv. ( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. 2,4,1,3,5.
2. 5,2,3,4,1.
3. 2,4,1,5,3.
4. 3,4,2,1,5.
5. Incorreta: 2,1,3,4,5.

As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções. De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em termos de subtrações ou soma de outras integrais. II. ( ) A fórmula representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação em x. III. ( ) representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função. IV. ( ) pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação y. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. V, V, F, F
2. V, F, V, V.
3. Correta: V, V, V, F.
4. F, F, V, F.
5. V, V, F, V.

O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por substituições trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições são as únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico equivale, por exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou translação, ao comprimento de um arco, etc. De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir: I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a²+y²/b²=1, pode ser feito substituições trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a²-x². II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a²-x² podem ser integradas fazendo a substituição x=asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w=cos²w. III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para integração em casos específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, para chegar a expressões integráveis. IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x original. Está correto apenas o que se afirma em:
1. II e III.
2. I, II e IV.
3. I e III.
4. II e IV.
5. Correta: I, II e III.

O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada do integrando. Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando. II. ( ) x=asen( ) é uma das substituições possíveis. III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método. IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. F, F, V, V.
2. V, V, F, F.
3. V, V, V, F.
4. Correta: V, V, F, V.
5. V, F, F, F.

O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. A integral indefinida da função f(x)=(e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2+C. Porque: II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u=e^x e dv=cos(x)dx, de forma que du=(e^x)dx e v=sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). Agora, assinale a alternativa correta:
1. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
2. As asserções I e II são proposições falsas.
3. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
4. Correta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
5. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.