Para determinar os pontos críticos da função \( g(x) = x^2 - 4x + \ln(x) \) no intervalo \([1, 3]\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada de \( g(x) \): \[ g'(x) = 2x - 4 + \frac{1}{x} \] 2. Igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: \[ 2x - 4 + \frac{1}{x} = 0 \] Multiplicando toda a equação por \( x \) (considerando \( x > 0 \)): \[ 2x^2 - 4x + 1 = 0 \] 3. Resolver a equação quadrática: Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Os pontos críticos são: \[ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{e} \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \] Verificando se \( x_2 \) está no intervalo \([1, 3]\): \[ 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.586 \quad (\text{não está no intervalo}) \] Portanto, o único ponto crítico relevante é \( x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \). 4. Classificar o ponto crítico: Para classificar, precisamos da segunda derivada: \[ g''(x) = 2 - \frac{1}{x^2} \] Avaliando \( g''(x) \) em \( x_1 \): \[ g''(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 - \frac{1}{(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})^2} \] Como \( g''(x) > 0 \) para \( x \) próximo a \( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \), isso indica que \( x_1 \) é um mínimo local. 5. Verificar os extremos do intervalo: Avaliando \( g(1) \) e \( g(3) \): \[ g(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + \ln(1) = 1 - 4 + 0 = -3 \] \[ g(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + \ln(3) = 9 - 12 + \ln(3) \approx -3 + 1.1 = -1.9 \] Portanto, \( g(1) < g(3) \). Com isso, temos: - Mínimo local em \( x_1 \) (que está entre 1 e 3). - \( g(1) \) é menor que \( g(3) \), então \( x = 1 \) não é um máximo local. Analisando as alternativas: a) Mínimo local em x = 1, ponto de inflexão em x = 3. b) Máximo local em x = 1, mínimo local em x = 3. c) Mínimo local em x = 1, máximo local em x = 3. d) Máximo local em x = 1, ponto de inflexão em x = 3. e) Ponto de inflexão em x = 1, mínimo local em x = 3. A alternativa correta é: a) Mínimo local em x = 1, ponto de inflexão em x = 3.