Para determinar os valores de \( m \) para os quais os vetores resultantes das operações \( \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c} \) e \( \mathbf{a} \) serão ortogonais, precisamos primeiro calcular os vetores resultantes. 1. Definindo os vetores: - \( \mathbf{a} = (2, 1, m) \) - \( \mathbf{b} = (m+2, -5, 2) \) - \( \mathbf{c} = (2m, 8, m) \) 2. Calculando \( \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c} \): \[ \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c} = (2, 1, m) + (m+2, -5, 2) - (2m, 8, m) \] \[ = (2 + m + 2 - 2m, 1 - 5 - 8, m + 2 - m) \] \[ = (4 - m, -12, 2) \] 3. Agora, temos os vetores: - \( \mathbf{v_1} = (4 - m, -12, 2) \) - \( \mathbf{v_2} = (2, 1, m) \) 4. Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero: \[ \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} = (4 - m) \cdot 2 + (-12) \cdot 1 + 2 \cdot m = 0 \] \[ 2(4 - m) - 12 + 2m = 0 \] \[ 8 - 2m - 12 + 2m = 0 \] \[ -4 = 0 \] Como não há valores de \( m \) que satisfaçam essa equação, isso indica que não existem valores de \( m \) para os quais os vetores resultantes das operações \( \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c} \) e \( \mathbf{a} \) sejam ortogonais. Portanto, você precisa criar uma nova pergunta, pois não há uma alternativa correta a ser escolhida.