Para responder à sua pergunta, precisamos identificar qual teorema se aplica à situação descrita. A questão fala sobre a continuidade de uma função \( f(x) \) em um intervalo fechado \([a,b]\) e a existência de um valor \( c \) tal que \( f(c) \) assume todos os valores entre \( f(a) \) e \( f(b) \). Vamos analisar as alternativas: a) Teorema de Rolle - Este teorema afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto, e se \( f(a) = f(b) \), então existe pelo menos um ponto \( c \) em \((a,b)\) onde a derivada \( f'(c) = 0\). Não garante a existência de todos os valores entre \( f(a) \) e \( f(b) \). b) Teorema do Valor Médio - Este teorema afirma que existe pelo menos um ponto \( c \) em \((a,b)\) tal que a derivada da função nesse ponto é igual à taxa média de variação da função no intervalo. Também não garante a existência de todos os valores entre \( f(a) \) e \( f(b) \). c) Teorema do Valor Intermediário - Este teorema afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado \([a,b]\), então para qualquer valor \( L \) entre \( f(a) \) e \( f(b) \), existe pelo menos um ponto \( c \) em \((a,b)\) tal que \( f(c) = L \). Este é o teorema que se aplica à sua pergunta. d) Teorema Fundamental do Cálculo - Este teorema relaciona a derivação e a integração, mas não se aplica diretamente à questão sobre a continuidade e a existência de valores intermediários. Portanto, a alternativa correta é: c) Teorema do Valor Intermediário.