duas equações do segundo grau são tais que as raizes da segunda são duas vezes iguais as raizes da primeira

Para resolver essa questão, vamos considerar duas equações do segundo grau: 1. A primeira equação: \( ax^2 + bx + c = 0 \) 2. A segunda equação: \( a'x^2 + b'x + c' = 0 \) Se as raízes da segunda equação são duas vezes as raízes da primeira, podemos denotar as raízes da primeira equação como \( r_1 \) e \( r_2 \). Assim, as raízes da segunda equação serão \( 2r_1 \) e \( 2r_2 \). Usando a relação entre as raízes e os coeficientes, temos: Para a primeira equação: - Soma das raízes: \( r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} \) - Produto das raízes: \( r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} \) Para a segunda equação: - Soma das raízes: \( 2r_1 + 2r_2 = -\frac{b'}{a'} \) - Produto das raízes: \( 2r_1 \cdot 2r_2 = \frac{c'}{a'} \) Substituindo as relações da primeira equação na segunda, temos: 1. \( 2(r_1 + r_2) = -\frac{b'}{a'} \) implica que \( -\frac{b'}{a'} = -2\left(-\frac{b}{a}\right) \) ou seja, \( b' = 2b \). 2. \( 4(r_1 \cdot r_2) = \frac{c'}{a'} \) implica que \( \frac{c'}{a'} = 4\left(\frac{c}{a}\right) \) ou seja, \( c' = 4c \). Portanto, se a primeira equação é \( ax^2 + bx + c = 0 \), a segunda equação será \( a'x^2 + b'x + c' = 0 \) com \( b' = 2b \) e \( c' = 4c \).