Para encontrar o determinante \(D_z\) usando a regra de Cramer, precisamos substituir a coluna dos termos independentes (do lado direito das equações) pela coluna das variáveis \(z\) no determinante da matriz dos coeficientes. As equações do sistema são: 1. \(x - 2y - 3z = 8\) 2. \(3x - 2y + z = 0\) 3. \(2x + 4y - 5z = 14\) A matriz dos coeficientes é: \[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -5 \end{bmatrix} \] E a matriz com a coluna de \(z\) substituída pelos termos independentes é: \[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 3 & -2 & 0 \\ 2 & 4 & 14 \end{bmatrix} \] Agora, calculamos o determinante \(D_z\): \[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 3 & -2 & 0 \\ 2 & 4 & 14 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ D_z = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 4 & 14 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 14 \end{vmatrix} + 8 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \] Calculando cada um dos determinantes menores: 1. \(\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 4 & 14 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 14 - 0 \cdot 4 = -28\) 2. \(\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 14 \end{vmatrix} = 3 \cdot 14 - 0 \cdot 2 = 42\) 3. \(\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 3 \cdot 4 - (-2) \cdot 2 = 12 + 4 = 16\) Substituindo de volta: \[ D_z = 1 \cdot (-28) + 2 \cdot 42 + 8 \cdot 16 \] \[ D_z = -28 + 84 + 128 \] \[ D_z = 184 \] Portanto, o resultado do determinante \(D_z\) é \(184\). A alternativa correta é a letra d.