Para determinar a taxa de variação da função \( f(x, y, z) = 2xy - 3yz + xz \) no ponto \( P(1, -1, 2) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (-3, 2, -6) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função \( f \): O gradiente \( \nabla f \) é dado por: \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \] - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2y + z \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2x - 3z \) - \( \frac{\partial f}{\partial z} = -3y + x \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f = \left( 2(-1) + 2, 2(1) - 3(2), -3(-1) + 1 \right) = (0, -4, 4) \] 2. Normalize o vetor \( \mathbf{v} \): O vetor \( \mathbf{v} = (-3, 2, -6) \) deve ser normalizado: \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7 \] O vetor unitário \( \mathbf{u} \) na direção de \( \mathbf{v} \) é: \[ \mathbf{u} = \left( -\frac{3}{7}, \frac{2}{7}, -\frac{6}{7} \right) \] 3. Calcule a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \] Calculando o produto escalar: \[ D_{\mathbf{u}} f = (0, -4, 4) \cdot \left( -\frac{3}{7}, \frac{2}{7}, -\frac{6}{7} \right) = 0 \cdot -\frac{3}{7} + (-4) \cdot \frac{2}{7} + 4 \cdot -\frac{6}{7} \] \[ = 0 - \frac{8}{7} - \frac{24}{7} = -\frac{32}{7} \] Portanto, a taxa de variação da função \( f \) no ponto \( P(1, -1, 2) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} \) é \( -\frac{32}{7} \).