Determine a derivada direcional da função , na direção do vetor no ponto (x,y) = (1,1). f(x, y) = + 5 2x 2 y ( , − ) √3 2 1 2

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = 5x^2y \) na direção do vetor \( \mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \right) \) no ponto \( (x, y) = (1, 1) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função \( f \): \[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 10xy \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 5x^2 \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f(x, y) = (10xy, 5x^2) \] 2. Avalie o gradiente no ponto \( (1, 1) \): \[ \nabla f(1, 1) = (10 \cdot 1 \cdot 1, 5 \cdot 1^2) = (10, 5) \] 3. Normalize o vetor direção \( \mathbf{u} \) (já está normalizado): \[ \mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \right) \] 4. Calcule a derivada direcional: \[ D_{\mathbf{u}} f(1, 1) = \nabla f(1, 1) \cdot \mathbf{u} = (10, 5) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \right) \] \[ D_{\mathbf{u}} f(1, 1) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10 + 10}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \] Portanto, a derivada direcional da função \( f \) na direção do vetor \( \mathbf{u} \) no ponto \( (1, 1) \) é \( \frac{20}{\sqrt{3}} \).