unopar Cáll Questões Uma das aplicações do conceito de derivada tem relação com a determinação da reta tangente a uma curva, ou ao gráfico de uma função, em um ponto fixado. Nesse caso, podemos relacionar a derivada com a 1B inclinação da reta tangente, ou coeficiente angular da reta tangente, de tal forma que para uma função fe um ponto fixado a, a equação da reta tangente ao gráfico de f em X = a pode ser dada por: y = f'(a)(x a) + f(a) 6 Nesse sentido, considere a função cuja lei de formação é f(x) = = 1/x e seja 0 ponto x=3 = pertencente ao seu domínio. 11 Recorrendo à definição de derivada via limites, assinale a alternativa que fornece corretamente à equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 3. = A. y=-1x+2 1 y=1x-1, milk ml Tempo de B. C y=1x-1 y=tx+2

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unopar Cáll Questões Uma das aplicações do conceito de derivada tem relação com a determinação da reta tangente a uma curva, ou ao gráfico de uma f...

Ed · Answer

Para encontrar a equação da reta tangente à função $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto $ x = 3 $, precisamos seguir alguns passos:

1. **Calcular a derivada da função**:
   A derivada de $ f(x) = \frac{1}{x} $ é dada por:
   $$
   f'(x) = -\frac{1}{x^2}
   $$

2. **Avaliar a derivada no ponto $ x = 3 $**:
   $$
   f'(3) = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}
   $$

3. **Calcular o valor da função no ponto $ x = 3 $**:
   $$
   f(3) = \frac{1}{3}
   $$

4. **Usar a fórmula da reta tangente**:
   A equação da reta tangente em $ x = a $ é dada por:
   $$
   y = f'(a)(x - a) + f(a)
   $$
   Substituindo $ a = 3 $:
   $$
   y = -\frac{1}{9}(x - 3) + \frac{1}{3}
   $$

5. **Simplificar a equação**:
   $$
   y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}
   $$
   $$
   y = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{3}
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

A. $ y = -1x + 2 $  
B. $ y = 1x - 1 $  
C. $ y = \frac{1}{9}x - 1 $  
D. $ y = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{3} $

A alternativa correta, que corresponde à equação da reta tangente que encontramos, é a **D**: $ y = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{3} $.

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