calcule a solução da equação diferencial Y'= -5x³ y², que atenda à condição inicial y(0)=10 e assinale a alternativa que traz corretamente o valor con

Question

calcule a solução da equação diferencial Y'= -5x³ y², que atenda à condição inicial y(0)=10 e assinale a alternativa que traz corretamente o valor constante ''C''.

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial $ Y' = -5x^3 y^2 $ com a condição inicial $ y(0) = 10 $, vamos usar separação de variáveis.

1. **Separar as variáveis**:
   $$
   \frac{dy}{y^2} = -5x^3 dx
   $$

2. **Integrar ambos os lados**:
   $$
   \int \frac{dy}{y^2} = \int -5x^3 dx
   $$
   A integral do lado esquerdo é:
   $$
   -\frac{1}{y} + C_1
   $$
   E a integral do lado direito é:
   $$
   -\frac{5}{4}x^4 + C_2
   $$

3. **Igualando as integrais**:
   $$
   -\frac{1}{y} = -\frac{5}{4}x^4 + C
   $$
   (onde $ C = C_2 - C_1 $)

4. **Isolar $ y $**:
   $$
   \frac{1}{y} = \frac{5}{4}x^4 - C
   $$
   $$
   y = \frac{1}{\frac{5}{4}x^4 - C}
   $$

5. **Aplicar a condição inicial $ y(0) = 10 $**:
   $$
   10 = \frac{1}{\frac{5}{4}(0)^4 - C}
   $$
   $$
   10 = \frac{1}{-C}
   $$
   Portanto, $ -C = \frac{1}{10} $ e $ C = -\frac{1}{10} $.

Assim, o valor da constante $ C $ é $ -\frac{1}{10} $.

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