Para resolver essa questão, precisamos entender o que significa a soma de subespaços vetoriais \( R \) e \( S \) no espaço \( \mathbb{R}^3 \). 1. O subespaço \( R \) é dado por \( R = \{(x, -x, 0) \in \mathbb{R}^3\} \), que representa uma linha no plano \( xz \) onde a coordenada \( y \) é sempre o oposto da coordenada \( x \). 2. O subespaço \( S \) é dado por \( S = \{(y, y, z) \in \mathbb{R}^3\} \), que representa uma linha onde as coordenadas \( x \) e \( y \) são iguais. A soma dos subespaços \( R + S \) consiste em todos os vetores que podem ser formados pela soma de um vetor de \( R \) e um vetor de \( S \). Vamos analisar as alternativas: a) \( R + S = \{(x, 0, z) \in \mathbb{R}^3\} \) - Isso não é correto, pois não representa a soma dos dois subespaços. b) \( R + S = \{(x+y, x+y, z) \in \mathbb{R}^3\} \) - Essa opção parece mais plausível, pois combina as características de ambos os subespaços. c) \( R + S = \{(x, -x, z) \in \mathbb{R}^3\} \) - Isso representa apenas o subespaço \( R \), não a soma. d) \( R + S = \{(x+y, -x+y, z) \in \mathbb{R}^3\} \) - Essa opção também parece plausível, mas não é a forma mais direta da soma. e) \( R + S = \{(x, 0, 0) \in \mathbb{R}^3\} \) - Isso não é correto, pois não representa a soma dos dois subespaços. Após analisar as opções, a alternativa que melhor representa a soma dos subespaços \( R \) e \( S \) é: b) \( R + S = \{(x+y, x+y, z) \in \mathbb{R}^3\} \).