assinale os intervalos onde a função polinomial definida por (f(x)=x3+6x2=4x-8 possui concavidade positiva

Para determinar os intervalos onde a função polinomial \( f(x) = x^3 + 6x^2 - 4x - 8 \) possui concavidade positiva, precisamos encontrar a segunda derivada da função e analisar seus sinais. 1. Primeira derivada: \[ f'(x) = 3x^2 + 12x - 4 \] 2. Segunda derivada: \[ f''(x) = 6x + 12 \] 3. Encontrar os pontos críticos da segunda derivada: Para determinar onde a concavidade é positiva, igualamos a segunda derivada a zero: \[ 6x + 12 = 0 \implies 6x = -12 \implies x = -2 \] 4. Analisar o sinal da segunda derivada: - Para \( x < -2 \): Escolha \( x = -3 \): \[ f''(-3) = 6(-3) + 12 = -18 + 12 = -6 \quad (\text{concavidade negativa}) \] - Para \( x > -2 \): Escolha \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) + 12 = 12 \quad (\text{concavidade positiva}) \] 5. Conclusão: A função \( f(x) \) possui concavidade positiva no intervalo \( (-2, +\infty) \). Portanto, a resposta é que a função tem concavidade positiva para \( x \in (-2, +\infty) \).