Assinale os intervalos onde a função polinomial definida por f(x) = x3 +6x2 + 4x -8 possui concavidade

Para determinar os intervalos de concavidade da função polinomial \( f(x) = x^3 + 6x^2 + 4x - 8 \), precisamos calcular a segunda derivada da função. 1. Primeira derivada: \[ f'(x) = 3x^2 + 12x + 4 \] 2. Segunda derivada: \[ f''(x) = 6x + 12 \] 3. Encontrar os pontos de inflexão: Para encontrar os pontos onde a concavidade pode mudar, igualamos a segunda derivada a zero: \[ 6x + 12 = 0 \implies 6x = -12 \implies x = -2 \] 4. Analisar os sinais da segunda derivada: - Para \( x < -2 \): Escolha \( x = -3 \): \[ f''(-3) = 6(-3) + 12 = -6 \quad (\text{concavidade para baixo}) \] - Para \( x > -2 \): Escolha \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) + 12 = 12 \quad (\text{concavidade para cima}) \] 5. Conclusão: - A função é côncava para baixo no intervalo \( (-\infty, -2) \). - A função é côncava para cima no intervalo \( (-2, +\infty) \). Portanto, os intervalos onde a função possui concavidade são: - Côncava para baixo: \( (-\infty, -2) \) - Côncava para cima: \( (-2, +\infty) \)