Para mostrar que não há um número racional \( r \) tal que \( r^3 + r + 1 = 0 \) usando uma demonstração por contradição, siga os passos abaixo: 1. Assuma que existe um número racional \( r \): Vamos supor que \( r \) pode ser expresso como \( r = \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são inteiros, \( b \neq 0 \), e \( \frac{a}{b} \) está na forma reduzida (ou seja, \( a \) e \( b \) não têm fatores comuns). 2. Substitua \( r \) na equação: Substituindo na equação \( r^3 + r + 1 = 0 \), temos: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^3 + \frac{a}{b} + 1 = 0 \] 3. Multiplique por \( b^3 \) para eliminar os denominadores: \[ a^3 + ab^2 + b^3 = 0 \] 4. Rearranje a equação: \[ a^3 + ab^2 = -b^3 \] 5. Analise a paridade de \( a \) e \( b \): - Se \( a \) é par, então \( a^3 \) é par e \( ab^2 \) é par (já que \( b^2 \) é sempre par se \( b \) é par). Portanto, \( a^3 + ab^2 \) é par. - Se \( a \) é ímpar, então \( a^3 \) é ímpar e \( ab^2 \) é ímpar (já que \( b^2 \) é sempre ímpar se \( b \) é ímpar). Portanto, \( a^3 + ab^2 \) é par. 6. Conclusão sobre a paridade: - O lado direito da equação, \( -b^3 \), é par se \( b \) é par e ímpar se \( b \) é ímpar. - Isso leva a uma contradição, pois \( a^3 + ab^2 \) não pode ser igual a \( -b^3 \) se ambos os lados têm paridades diferentes. 7. Conclusão final: Portanto, nossa suposição inicial de que existe um número racional \( r \) tal que \( r^3 + r + 1 = 0 \) é falsa. Assim, não há números racionais que satisfaçam a equação.