Seja 𝑓(𝑥) função derivável, com 𝑓(𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥. Com respeito à derivada da recíproca da função 𝑓(𝑥), isto é, 𝑔(𝑥) = fraction numerator

Question

Seja ?(?) função derivável, com ?(?) ≠ 0 para todo ?. Com respeito à derivada da recíproca da função ?(?), isto é, ?(?) = fraction numerator 1 over denominator ? open parentheses x close parentheses end fraction, é correto afirmar: a. g to the power of apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator f to the power of apostrophe left parenthesis x right parenthesis over denominator f left parenthesis x right parenthesis end fraction b. g to the power of apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator f to the power of apostrophe left parenthesis x right parenthesis over denominator left parenthesis f left parenthesis x right parenthesis right parenthesis squared end fraction c. g to the power of apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals negative fraction numerator f to the power of apostrophe left parenthesis x right parenthesis over denominator left parenthesis f left parenthesis x right parenthesis right parenthesis squared end fraction d. g to the power of apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 1 over denominator f to the power of apostrophe left parenthesis x right parenthesis end fraction e. g to the power of apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals negative fraction numerator f to the power of apostrophe left parenthesis x right parenthesis over denominator f left parenthesis x right parenthesis end fraction

Ed · Answer

Para encontrar a derivada da função recíproca $ g(x) = \frac{1}{f(x)} $, podemos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. A derivada de $ g(x) $ pode ser encontrada da seguinte forma:

1. Usando a regra da derivada de uma função recíproca, temos:
   $$
   g'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

a) $ g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} $ - Incorreta, pois não tem o sinal negativo e não está ao quadrado.

b) $ g'(x) = \frac{f'(x)}{(f(x))^2} $ - Incorreta, pois não tem o sinal negativo.

c) $ g'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2} $ - Correta, pois corresponde à derivada que encontramos.

d) $ g'(x) = \frac{1}{f'(x)} $ - Incorreta, pois não representa a derivada da função recíproca.

e) $ g'(x) = -\frac{f'(x)}{f(x)} $ - Incorreta, pois não está ao quadrado.

Portanto, a alternativa correta é: **c) $ g'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2} $**.

Cálculo

Seja 𝑓(𝑥) função derivável, com 𝑓(𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥. Com respeito à derivada da recíproca da função 𝑓(𝑥), isto é, 𝑔(𝑥) = fraction numerator

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