Prove que, de todos os cilindros de mesmo volume, o cilindro equil´atero ´e o que possui a menor ´area total.

Para provar que, de todos os cilindros de mesmo volume, o cilindro equilátero (onde a altura é igual ao diâmetro da base) possui a menor área total, siga os seguintes passos: 1. Definições: - Seja \( r \) o raio da base do cilindro e \( h \) a altura. - O volume \( V \) do cilindro é dado por: \[ V = \pi r^2 h \] 2. Área Total: - A área total \( A \) do cilindro é dada por: \[ A = 2\pi r^2 + 2\pi rh \] - O primeiro termo representa a área das duas bases e o segundo termo a área lateral. 3. Expressar \( h \) em função de \( r \): - Para um volume fixo \( V \), temos: \[ h = \frac{V}{\pi r^2} \] - Substituindo \( h \) na fórmula da área total: \[ A = 2\pi r^2 + 2\pi r\left(\frac{V}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} \] 4. Minimização da Área: - Para encontrar o valor de \( r \) que minimiza \( A \), derivamos \( A \) em relação a \( r \) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dr} = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} \] \[ 0 = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} \] \[ 4\pi r^3 = 2V \] \[ r^3 = \frac{V}{2\pi} \] \[ r = \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3} \] 5. Encontrar \( h \): - Substituindo \( r \) na expressão de \( h \): \[ h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3}} = 2\left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3} \] 6. Verificação do cilindro equilátero: - Para um cilindro equilátero, temos \( h = 2r \). Substituindo \( r \) encontrado: \[ h = 2\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3} \] - Portanto, \( h = 2r \), confirmando que o cilindro é equilátero. 7. Conclusão: - Assim, provamos que, para um cilindro de volume fixo, o cilindro equilátero (onde \( h = 2r \)) possui a menor área total. Essa é a prova de que o cilindro equilátero tem a menor área total entre todos os cilindros de mesmo volume.