determine o valor da integral dupla (x + 2y), sendo s a área definida pelas retas x + y -4 = 0, x=y e 0 menor igual a x menor igual a 3

Para determinar o valor da integral dupla \(\iint_S (x + 2y) \, dA\), onde \(S\) é a área definida pelas retas \(x + y - 4 = 0\), \(x = y\) e \(0 \leq x \leq 3\), vamos seguir os passos: 1. Identificar a região \(S\): - A reta \(x + y - 4 = 0\) pode ser reescrita como \(y = 4 - x\). - A reta \(x = y\) é uma linha diagonal. - As interseções dessas retas e os limites dados definem a região de integração. 2. Encontrar os pontos de interseção: - Interseção de \(x + y = 4\) e \(x = y\): \[ x + x = 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \implies y = 2. \] - Interseção de \(x + y = 4\) e \(x = 0\): \[ 0 + y = 4 \implies y = 4. \] - Interseção de \(x + y = 4\) e \(y = 0\): \[ x + 0 = 4 \implies x = 4. \] - Portanto, os pontos de interseção relevantes são \((0, 4)\), \((2, 2)\) e \((3, 3)\). 3. Definir os limites de integração: - Para \(0 \leq x \leq 2\), \(y\) varia de \(x\) até \(4 - x\). - Para \(2 < x \leq 3\), \(y\) varia de \(x\) até \(0\). 4. Configurar a integral dupla: \[ \int_0^2 \int_x^{4-x} (x + 2y) \, dy \, dx + \int_2^3 \int_x^{0} (x + 2y) \, dy \, dx. \] 5. Calcular a primeira integral: \[ \int_0^2 \int_x^{4-x} (x + 2y) \, dy \, dx. \] - A integral em relação a \(y\): \[ \int (x + 2y) \, dy = xy + y^2 \Big|_x^{4-x} = x(4-x) + (4-x)^2 - (x^2). \] - Simplificando e integrando em relação a \(x\). 6. Calcular a segunda integral: \[ \int_2^3 \int_x^{0} (x + 2y) \, dy \, dx. \] - A integral em relação a \(y\) e depois em relação a \(x\). 7. Somar os resultados das integrais. Ao final, você terá o valor da integral dupla. Se precisar de mais detalhes em algum passo específico, é só avisar!

56/3