Para resolver a integral dupla \( \iint_S \sen(x^2 + y^2) \, dx \, dy \) na forma polar, onde \( S \) é a região definida por \( x^2 + y^2 \leq \pi \) e \( x \geq 0 \), siga os passos abaixo: 1. Mudança para coordenadas polares: - As coordenadas polares são dadas por \( x = r \cos(\theta) \) e \( y = r \sin(\theta) \). - O elemento de área em coordenadas polares é \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \). 2. Definição da região \( S \): - A condição \( x^2 + y^2 \leq \pi \) se torna \( r^2 \leq \pi \), ou seja, \( 0 \leq r \leq \sqrt{\pi} \). - A condição \( x \geq 0 \) implica que \( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \). 3. Reescrevendo a integral: - A função \( \sen(x^2 + y^2) \) se torna \( \sen(r^2) \) em coordenadas polares. - Portanto, a integral se transforma em: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sqrt{\pi}} \sen(r^2) \cdot r \, dr \, d\theta \] 4. Resolvendo a integral em \( r \): - A integral em \( r \) é: \[ \int_0^{\sqrt{\pi}} r \sen(r^2) \, dr \] - Para resolver essa integral, use a substituição \( u = r^2 \), então \( du = 2r \, dr \) ou \( dr = \frac{du}{2r} = \frac{du}{2\sqrt{u}} \). - Os limites de integração mudam de \( r = 0 \) para \( r = \sqrt{\pi} \) para \( u = 0 \) até \( u = \pi \): \[ \int_0^{\pi} \sen(u) \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sen(u) \, du \] - A integral de \( \sen(u) \) de \( 0 \) a \( \pi \) é \( 2 \), então: \[ \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \] 5. Resolvendo a integral em \( \theta \): - Agora, a integral em \( \theta \) é: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2} \] 6. Resultado final: - Multiplicando os resultados das integrais: \[ \text{Valor da integral} = 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \] Portanto, a integral dupla \( \iint_S \sen(x^2 + y^2) \, dx \, dy \) é igual a \( \frac{\pi}{2} \).