determine o valor da integral dupla (x + 2y), sendo s a área definida pelas retas x + y -4 = 0

Para determinar o valor da integral dupla da função \( f(x, y) = x + 2y \) sobre a área definida pela reta \( x + y - 4 = 0 \), precisamos primeiro identificar a região de integração. 1. Identificar a região: A reta \( x + y - 4 = 0 \) pode ser reescrita como \( y = 4 - x \). Essa reta intercepta os eixos em \( (4, 0) \) e \( (0, 4) \). A região de integração é um triângulo com vértices em \( (0, 0) \), \( (4, 0) \) e \( (0, 4) \). 2. Definir os limites de integração: Para a integral dupla, podemos integrar primeiro em relação a \( y \) e depois em relação a \( x \). Os limites para \( y \) vão de \( 0 \) até \( 4 - x \), e os limites para \( x \) vão de \( 0 \) até \( 4 \). 3. Montar a integral: \[ \int_{0}^{4} \int_{0}^{4-x} (x + 2y) \, dy \, dx \] 4. Calcular a integral interna: \[ \int_{0}^{4-x} (x + 2y) \, dy = \left[ xy + y^2 \right]_{0}^{4-x} = x(4-x) + (4-x)^2 \] \[ = 4x - x^2 + (16 - 8x + x^2) = 16 - 4x \] 5. Calcular a integral externa: \[ \int_{0}^{4} (16 - 4x) \, dx = \left[ 16x - 2x^2 \right]_{0}^{4} = (64 - 32) - (0) = 32 \] Portanto, o valor da integral dupla é 32.